高中数学 抛物线最值问题

Question

求具体解题过程及思路

Answer 1

方法1，平移直线与抛物线相切，切点就是所求P点，P到已知直线的距离就是所求最小距离。
方法2，设P坐标，表达P到直线距离，再讨论最小值。

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Answer 2

已知抛物线x²=4y的焦点为F，P为抛物线在第一象限上的一个动点，求点P到直线y=x-10的
距离的最小值。
解：直线y=x-10的斜率k=1；对抛物线 y=x²/4求导，并令其导数=1，即y'=x/2=1，得x=2；
代入抛物线方程得 y=1，即抛物线上过点(2，1)的切线：y=(x-2)+1=x-1与直线y=x-10平行；
因此抛物线上的切点(2，1)到直线x-y-10=0的距离就是满足题意的最小距离d:
d=∣2-1-10∣/√2=9/√2=(9/2)√2；

Answer 3

把直线向上平移，直到与抛物线相切，则切点就是最近的点。这个点的斜率一定等于直线的斜率，也就是说其一阶导数是1.
于是y'=0.5x=1。x=2。
那个点就是(2,1)。
到直线的距离为（9/2)√2

Answer 4

做直线的平行线，不难得出当平行线恰好与抛物线有一个交点时，该点即为P到直线距离最小的点。
所以设直线l：y=x+a，把l和抛物线方程联立，用德尔塔（打不出来，就是那个b方减4ac）等于零求出a的值，算出两平行线的距离

Answer 5

方法一、
思路最简单的方法
点P坐标为(x,x²/4)
到直线x-y-10=0的距离
d(x)=|x-x²/4-10|/√2=[(x-2)²+36]/4√2≤36/4√2=9/√2
仅当x=2时取等号
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方法二、利用导数的性质
x²=4y
y=x²/4
y'=x/2
令y'=1，x=2
带入y=x²/4得，y=1
P点离y=x-10最近的点是（2,1）
直线方程写成x-y-10=0
则最短距离=|2-1-10|/√2=9/√2