矩阵A与B相似，则B=(P^-1)AP，可逆矩阵是初等阵的乘积，所以A可以经过初等变换化为B，而初等变换不改变矩阵的秩，所以r(B)=r(A)。（"P^(-1)"表示P的-1次幂,也就是P的逆矩阵）
矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件：
(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵。
(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=B。
扩展资料：
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。
注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。
若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：
（1） 求出全部的特征值；
（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；
（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。
判断两个矩阵是否相似的辅助方法：
（1）判断特征值是否相等；
（2）判断行列式是否相等；
（3）判断迹是否相等；
（4）判断秩是否相等。
以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。
（两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。）
参考资料来源：百度百科——相似矩阵
矩阵A与B相似，则B=(P^-1)AP，可逆矩阵是初等阵的乘积，所以A可以经过初等变换化为B，而初等变换不改变矩阵的秩，所以r(B)=r(A)。（"P^(-1)"表示P的-1次幂,也就是P的逆矩阵）
矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件：
(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵。
(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=B。
扩展资料：
相似矩阵的性质：
1、若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。
2、相似矩阵的秩相等。
3、相似矩阵的行列式相等。
4、相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。
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