什么是正交矩阵的行列式等于1？

Question

如题所述

Answer 1

正交矩阵的行列式等于1。

行列式为1的矩阵是正交矩阵，即原矩阵与它的转置相乘是单位矩阵。行列式为1的矩阵是正交矩阵，即原矩阵与它的转置相乘是单位矩阵。如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。

实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

详细介绍如下：

实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM=D，D是对角矩阵。

由于正交矩阵的列向量（或行向量）互相正交且归一化，正交矩阵在几何变换、向量空间的正交性质、线性代数等领域有着重要的应用。例如，在三维空间中，正交矩阵可以表示旋转操作，保持向量的长度和直角关系不变。

正交矩阵保持向量的长度和角度：如果向量v与正交矩阵A相乘，那么向量的长度保持不变，角度也保持不变。正交矩阵的转置也是正交矩阵：如果矩阵A是正交矩阵，那么它的转置矩阵A^T也是正交矩阵。这体现了正交矩阵的对称性和反射性质。