第1个回答 2012-11-22
常用的就是合同变换和谱分解，有时候用定义。不管怎么说，不要刻意地去练技术，先把基本的概念和性质尽可能理解透了再说。
当然，Schur乘积定理相对比较难，证不出来也不要失去信心。
第2个回答 2012-11-22
证明：
若A与B都是半正定的，则有方阵P=(tij)，使B=PP'，即有bij=Σ[k=1,n]tik*tjk。
由于A，B皆为实对称矩阵，显然C也是，且
X'CX=Σ[j=1,n]Σ[i=1,n]aij*bij*xi*xj=Σ[j=1,n]Σ[i=1,n]aij(Σ[k=1,n]tik*tjk)xi*xj
=Σ[k=1,n]Σ[j=1,n]Σ[i=1,n]aij(tik*xi)(tjk*xj)=Σ[k=1,n]Yk'AYk，
其中，Yk=(tik*xi t2k*x2 ... tnk*xn)'，X=(x1 x2 ... xn)'.
因为A是半正定的，所以对任意实向量X皆有Yk'AYk≥0，因此X'CX≥0，即C也是半正定的。
用矩阵正定的等价条件证明矩阵正定性。
具体地，有以下几种方法：
①由定义，看是否存在一组不全为零的实数c1,...,cn使得f(c1,...,cn)＞0；
②证明顺序主子式全大于零；
③将欲证矩阵化为对角形看正惯性指数是否为n
④看是否存在可逆阵C使得A=C'C
⑤经过满秩的线性代换化为标准型并观察之。本回答被提问者采纳
若A与B都是半正定的，则有方阵P=(tij)，使B=PP'，即有bij=Σ[k=1,n]tik*tjk。
由于A，B皆为实对称矩阵，显然C也是，且
X'CX=Σ[j=1,n]Σ[i=1,n]aij*bij*xi*xj=Σ[j=1,n]Σ[i=1,n]aij(Σ[k=1,n]tik*tjk)xi*xj
=Σ[k=1,n]Σ[j=1,n]Σ[i=1,n]aij(tik*xi)(tjk*xj)=Σ[k=1,n]Yk'AYk，
其中，Yk=(tik*xi t2k*x2 ... tnk*xn)'，X=(x1 x2 ... xn)'.
因为A是半正定的，所以对任意实向量X皆有Yk'AYk≥0，因此X'CX≥0，即C也是半正定的。
用矩阵正定的等价条件证明矩阵正定性。
具体地，有以下几种方法：
①由定义，看是否存在一组不全为零的实数c1,...,cn使得f(c1,...,cn)＞0；
②证明顺序主子式全大于零；
③将欲证矩阵化为对角形看正惯性指数是否为n
④看是否存在可逆阵C使得A=C'C
⑤经过满秩的线性代换化为标准型并观察之。本回答被提问者采纳
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