当一项事件以概率p重复进行n次时，该事件恰好发生k次的概率由公式描述：P = C(k,n) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(k,n)是组合数，表示从n个单位中选择k个的方法总数。二项分布主要应用于医学等领域，描述只有两种互斥结果（如治疗效果、化验结果或传染状态）的离散型随机事件的规律。
在统计学中，如果每次试验（贝努利试验）的成功概率π恒定且相互独立，那么进行n次试验中成功次数X（X取值0到n）的概率可以用二项分布公式来表达。这个公式体现了在n次试验中，出现k次成功的所有可能组合的概率。
二项分布的应用条件包括：事件结果对立、成功概率π稳定、试验独立且同条件进行。其性质包括均值μ=nπ和标准差σ=np(1-p)。当n很大且π接近0.5时，二项分布通常趋向于正态分布。
例如，当π=0.5时，不同的n值会产生不同的二项分布图形。当n=1时，二项分布简化为两点分布，即仅包含两种结果（成功或失败）的概率分布。在更广泛的实验中，二项分布是两点分布的扩展，反映的是独立重复实验的结果，随着试验次数n的增加，其特性会更加丰富。
二项分布，伯努里分布：进行一系列试验，如果1.在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；2.每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关；3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努力试验。在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。二项分布可以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率。