如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1，0)、C(3，0)、D(3，4).,以A为顶点的抛物线y＝ax

Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1，0)、C(3，0)、D(3，4).,以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx+c过C点.动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E

1)在点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出相应的t值.(求过程）

Answer 1

解：（1）A（1，4）
由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4
∵抛物线过点C（3，0），
∴0=a（3-1）2+4，
解得，a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3

（2）∵A（1，4），C（3，0），
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵点P（1，4-t）．…（3分）
∴将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+t\2
∴点G的横坐标为1+t\2，，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-t²\4
∴GE=（4-t²\4）-（4-t）=t-t²\4
又点A到GE的距离为t\2，C到GE的距离为2-t\2
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=1\2•EG•t\2+1\2•EG（2-t\2）=1\2•2（t-t²\4）=-1\4（t-2）2+1

当t=2时，S△ACG的最大值为1
（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由菱形CQHE知CQ=CE=t，
根据△APE∽△ABC，知
AP\AB=AE\AC即t\4=2根号5-t\2根号5，解得，t=20-8根号5
第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t，PE=1\2t
，EM=2-1\2t，MQ=4-2t．
则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2-1\2t)2+（4-2t）2=t2
解得，t1=20\13，t2=4（不合题意，舍去）．
综上所述，t=20-8根号5或t=20\13

Answer 2

解：（1）A（1，4）
由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4
∵抛物线过点C（3，0），
∴0=a（3-1）2+4，
解得，a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3
（2）∵A（1，4），C（3，0），
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵点P（1，4-t）．…（3分）
∴将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+t\2
∴点G的横坐标为1+t\2，，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-t²\4
∴GE=（4-t²\4）-（4-t）=t-t²\4
又点A到GE的距离为t\2，C到GE的距离为2-t\2
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=1\2•EG•t\2+1\2•EG（2-t\2）=1\2•2（t-t²\4）=-1\4（t-2）2+1
当t=2时，S△ACG的最大值为1
（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由菱形CQHE知CQ=CE=t，
根据△APE∽△ABC，知
AP\AB=AE\AC即t\4=2根号5-t\2根号5，解得，t=20-8根号5
第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t，PE=1\2t
，EM=2-1\2t，MQ=4-2t．
则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2-1\2t)2+（4-2t）2=t2
解得，t1=20\13，t2=4（不合题意，舍去）．
综上所述，t=20-8根号5或t=20\13

Answer 3

：（1）A（1，4）
由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4
∵抛物线过点C（3，0），
∴0=a（3-1）2+4，
解得，a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3

（2）∵A（1，4），C（3，0），
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵点P（1，4-t）．…（3分）
∴将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+t\2
∴点G的横坐标为1+t\2，，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-t²\4
∴GE=（4-t²\4）-（4-t）=t-t²\4
又点A到GE的距离为t\2，C到GE的距离为2-t\2
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=1\2•EG•t\2+1\2•EG（2-t\2）=1\2•2（t-t²\4）=-1\4（t-2）2+1

当t=2时，S△ACG的最大值为1
（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由菱形CQHE知CQ=CE=t，
根据△APE∽△ABC，知
AP\AB=AE\AC即t\4=2根号5-t\2根号5，解得，t=20-8根号5
第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t，PE=1\2t
，EM=2-1\2t，MQ=4-2t．
则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2-1\2t)2+（4-2t）2=t2
解得，t1=20\13，t2=4（不合题意，舍去）．
综上所述，t=20-8根号5或t=20\13

Answer 4

解：（1）A（1，4） 由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1 ）2 4 ∵抛物线过点C（3，0）， ∴0=a（3-1）2 4， 解得，a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2 4，即y= -x2 2x 3

（2）∵A（1，4），C（3，0）， ∴可求直线AC的解析式为y=-2x 6． ∵点P（1，4-t）．…（3分） ∴将y=4-t代入y=-2x 6中，解得点E的横坐 标为x=1 t\2 ∴点G的横坐标为1 t\2，，代入抛物线的 解析式中，可求点G的纵坐标为4-t²\4 ∴GE=（4-t²\4）-（4-t）=t-t²\4 又点A到GE的距离为t\2，C到GE的距离为2 -t\2 即S△ACG=S△AEG S△CEG=1\2•EG•t\2 1\2• EG（2-t\2）=1\2•2（t-t²\4）=-1\4（t-2） 2 1

当t=2时，S△ACG的最大值为1 （3）第一种情况如图1所示，点H在AC的 上方，由菱形CQHE知CQ=CE=t， 根据△APE∽△ABC，知 AP\AB=AE\AC即t\4=2根号5-t\2根号5，解 得，t=20-8根号5 第二种情况如图2所示，点H在AC的下方， 由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t，PE=1\2 t ，EM=2-1\2t，MQ=4-2t． 则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知E M2 MQ2=EQ2，即（2-1\2t)2 （4-2t）2= t2 解得，t1=20\13，t2=4（不合题意，舍去 ）． 综上所述，t=20-8根号5或t=20\13

Answer 5

不知道。

Answer 6

啊