离散数学的一道题求解答

Question

如题所述

Answer 1

六、①a*b=(a-5)(b-5)+5,
任a,b≠5,则a*b≠5
②(a*b)*c=[ab-5(a+b)+30]*c
=[ab-5(a+b)+30]c-5[ab-5(a+b)+30+c]+30
=abc-5(ab+bc+ca)+25(a+b+c)-120,
同理a*(b*c)=a*[bc-5(b+c)+30]
=a[bc-5(b+c)+30]-5[a+bc-5(b+c)+30]+30
=abc-5(ab+bc+ca)+25(a+b+c)-120,
所以(a*b)*c=a*(b*c)
③设a*x=ax-5(a+x)+30=a,
ax-5a-5x+30=a,
(a-5)x=6(a-5),
a≠5,
所以x=6,即6是R'的单位元。
④设a*y=ay-5(a+y)+30=6,
(a-5)y=5a-24,
y=(5a-24)/(a-5),显然不为5，
所以a的逆元为(5a-24)/(a-5)。
综上，<R',*>是个群。
易知a*b=b*a,
所以<R',*>是个交换群。
4*4=（4-5）（4-5）+5=6，
所以|4|=2.

Answer 2

第3题，证明是群，同时满足下列4条件即可
1、封闭性（显然）
2、结合律
(a*b)*c=(a+b-2)*c=a+b-2+c-2=a+b+c-4
a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+b+c-2-2=a+b+c-4
则(a*b)*c=a*(b*c)
3、单位元存在，是2，因为a*2=2*a=a
4、存在逆元，a⁻¹=4-a，因为a*(4-a)=2
第6题
显然单位元是群的幂等元。
用反证法，假设有非单位元a （a≠e，e为单位元），也是群中的幂等元。
则a²=a
等式两边同时乘以a⁻¹，得到
a²*a⁻¹=a*a⁻¹
即a²*a⁻¹=e
也即
a*(a*a⁻¹)=e
从而
a*e=e
即
a=e
这与a≠e的假设矛盾，因此群里的幂等元唯一。