高等代数矩阵 A为n阶方阵，证明： A^2=A的充要条件是r(a)+r(a-e)=n 必要性我已会了。求充分性

Question

r(A)+r(A-E)=n r(A)表示矩阵A的秩

Answer 1

矩阵从第一行到最后一行都按照从左到右写！便于你看懂！
由[ A A-E ; 0 A-E] -->[ E A-E ; E-A A-E] -->[ E 0 ; E-A A^2-A]-->[E 0 ; 0 A^2-A]
故由矩阵初等变换的性质知，其秩保持不变，从而有r(A)+r(A-E)=r(E)+r(A^2-A) ，
结合已知条件，得r(A^2-A) =0 ，即A^2=A 证毕！

Answer 2

(A （E
A-E) 这个分块矩阵可以经过一系列初等变换化成 A^2-A)的形式，再根据它们的秩是相等的可以得到r(A)+r(A-E)=r(E)+r(A^2-A) 又因为 r(a)+r(a-e)=n并且r(e)=n,所以可以得到 r(A^2-A)=0
从而A^2-A=0追问

这个分块矩阵我没看清