已知函数f(x)=log1/2(|x|-|x+2|) (1)求函数f(x)的定义域(2)求函数f(x)的值域(3)求函数f(x)的单调区间(4)

Question

已知函数f(x)=log1/2(|x|-|x+2|) (1)求函数f(x)的定义域(2)求函数f(x)的值域(3)求函数f(x)的单调区间(4)存在实数a使得不等式f(x^2-2x-1)＜f(|a|-2)恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由。

Answer 1

<1> 定义域： (|x|-|x+2|) >0 ==>x<-1
<2> 值域： ⓐ -2<x<-1，0<(|x|-|x+2|)<2 ==>f(x) ∈(-1,+∞)
ⓑ x≤-2, (|x|-|x+2|)=2 ==> f(x) = -1.
故而：f(x) ∈[-1,+∞)
<3> 由<2>可知： f(x)的单调区间: -2<x<-1,f(x)在此区间单调递增。
<4> x^2-2x-1=(x-1)^2-2，由f(x)定义域可知，0<(x-1)^2<1,x∈(0,1)∪(1,2)
若f(x^2-2x-1)＜f(|a|-2)恒成立,则必有 -2< (x-1)^2-2<|a|-2 <-1 ==> 0<(x-1)^2<|a|<1，
==>必然存在a，使得以上不等式成立，(x-1)^2<a<1或-1<a< -(x-1)^2，x∈(0,1)∪(1,2)