如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B．设BD的长为x（0＜x＜8）．（1）求证：△DCE∽△ABD；（2）用含x的代数式表示CE的长；当CE=2时，求x的值；（3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形．

Answer 1

解：（1）∵∠ADC=∠1+∠2=∠B+∠3，∠1=∠B，
∴∠2=∠3．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△DCE∽△ABD；
（2）∵△DCE∽△ABD，
∴

CE

BD

=

DC

AB

，即

CE

x

=

8-x

6

，
∴CE=-

1

6

x²+

4

3

x，
∵CE=2，
∴-

1

6

x²+

4

3

x=2，
解得：x=2或6．
解这个方程，得x₁=2，x₂=6；
（3）①当DA=DE时，△DCE≌△ABD，
∴DC=AB=6，即8-x=6．解得 x=2．
②当EA=ED时，∠DAE=∠1=∠B=∠C．
∴△DAC∽△ABC．
∴

DC

AC

=

AC

BC

，即

8-x

6

=

6

8

．
解得 x=

7

2

．
③当AD=AE时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时x=0．
（或当AD=AE时，∠1=∠AED＞∠C，
∵∠1=∠B=∠C，
∴AD=AE情况不成立．
综上所述，当x=2或x=

7

2

时，△ADE为等腰三角形．

Answer 2

详细解题步骤如下：

如果想讨论另外两种情形，请接着看下面：

Answer 3

（1）∠b=∠c ∠bad+∠adb+∠abd=180° ∠b=∠1 ∠adb+∠1+∠edc=180度 所以 ∠bad=∠edc 两个∠相等
（2） 有1 知道2个三角形相似 所以 ce/bd=dc/ab ce=x*(8-x)/6
(3) 等腰 3种可能 ad=de 由1 知道 相似三角形 假设等于 那么就是全等三角形 则 dc=6 bd=2 ae=de ∠1=∠b 所以 abc相似与ead ad=用x表示 ae用x表示 ad/ae=8/6 求出x ad=ae 同2

Answer 4

答：（1）证明：
由AB=AC有∠B=∠C=∠1
∠ADC=∠B+∠BAD=∠1+∠EDC有∠BAD=∠EDC
在△BAD和△CDE中 ∠B=∠C ∠BAD=∠EDC推出两三角形相似，得证。
（2）由（1）有 BD/BA=CE/CD 则x/6=CE/（8-x） 推出CE=4x/3-x^2/6
当CE=2时，代入有x=2或6
（3）由题意有 COSB=4/6
当△ADE等腰时，∠1=∠DAE=∠C 则AD=CD=8-x
由余弦定理有COSB=[6^2+x^2-（8-x）^2]/2/6/x
推出x=7/2

Answer 5