一元二次方程根的判别式问题

Question

题目:ax^2-4x+a+3>0恒成立,求a的取值范围
在当a不等于0时，a>0且△=16-4a(a+3)<0这一步什么意思?
为什么△<0?不可以△>=0吗?
请数学高手帮我讲解一下根的判别式与函数恒成立问题
另一题:已知f(x)=log(x^2-2ax+4-3a)的值域为R,求a的取值范围.
答案中有一步x^2-2ax+4-3a=0的△>=0.为什么不是<0,不是函数图象开口向上吗?

Answer 1

ax^2-4x+a+3>0恒成立
即二次函数f(x)=ax²-4x+a+3的图象恒在x轴的上方
即抛物线开口向上且与x轴没有交点
开口向上，所以a>0
与x轴没有交点，所以△<0

当△>=0时，抛物线就与x轴有交点，这时就不能保证抛物线都在x轴的上方，也就是ax^2-4x+a+3>0不可能恒成立。

二次函数f(x)=ax²+bx+c
判别式△＝b²-4ac
若△>0，其图象与x轴有两个交点
若△=0，其图象与x轴有一个交点
若△<0，其图象与x轴没有交点

另一题:已知f(x)=log(x^2-2ax+4-3a)的值域为R,求a的取值范围.
答案中有一步x^2-2ax+4-3a=0的△>=0.为什么不是<0,不是函数图象开口向上

f(x)的值域是R，表示二次函数g(x)=x²-2ax+4-3a可以取(0，正无穷)的值，所以二次函数的图象不能全部位于x轴的上方，否则它与x轴之间有一部分值是不能取到的。于是要求二次函数与x轴有交点，所以△>=0

Answer 2

数形结合看：a>0就是开口向上，△<0就是图像和x轴无交点，每个点都大于0，那不等式自然恒成立咯！
若a<=o，在R总会有函数值小于等于0的点，不恒成立
△>=0，图像和x轴就会有交点了

参考资料：老师讲的，把3个二次结合起来，2次函数.不等式.方程