正规矩阵：定义与特性
正规矩阵，这一神秘的数学概念，是复数域上n×n的方阵，其核心特征在于满足AA*与A*A相等，其中A*代表矩阵的共轭转置。在实数领域，两个至关重要的矩阵——对称矩阵（A = A'）和正交矩阵（AA' = I）无疑都是正规矩阵的典范。
正规矩阵的力量
关键的发现是，所有正规矩阵都可以通过幺正矩阵进行对角化，这实际上由两个关键命题构成：正规矩阵可对角化，以及不同特征值对应的特征向量之间是正交的。通过施密特正交化过程，我们可以将特征向量整理成一组两两正交的单位特征基，从而实现幺正对角化。
对角化条件的揭示
矩阵能够被对角化的一个重要条件是其最小多项式没有非平凡的平方因子。如在矩阵的多项式与对角化之间，复数矩阵的对角化能力与它的最小多项式的特性紧密相关。
正规矩阵的多项式特性
一个引人注目的事实是，如果矩阵A与它的多项式P(A)可交换，那么P(A)也将保持正规性。进一步的，如果矩阵A是正规的，对于任意向量v，我们有A*v和v*A之间的关系。
特征值的对称性
当矩阵A是正规矩阵时，若它有特征值λ和非零特征向量v，那么其共轭A*也有共轭特征值λ*，且相同的向量v再次作为特征向量出现。这样的对称性是正规矩阵特有的。
证明与结论
通过严格的证明，我们得知，正规矩阵A确实可对角化，其最小多项式的特性排除了非平凡平方因子的存在。而且，不同特征值的特征向量正交性不容置疑，这是正规矩阵对角化的关键步骤。
正规矩阵的完整对角化
最终，我们得出了定理：正规矩阵不仅可以被对角化，而且其特征向量在对角化过程中展现出极高的结构，确保了矩阵的完全幺正对角化。