第一张图片:选(C)。事实上,
f(x) - g(x) = 1 - xsin(1/x),x ≠ 0,
= -1, x = 0,
有
lim(x→0)[f(x) - g(x)] = 1 ≠ -1 = f(0) - g(0),
即 f(x) - g(x) 在 x = 0 不连续。
第二张图片:
1)选(A)。事实上,由相切条件可求得 a = 1/(2e),于是
lim(x→1/(2e))[1+(x-a)]^sin(x-a)
= lim(x→a)[1+(x-a)]^(x-a)
= lim(t→0)(1+t)^t
= lim(t→0)e^[tln(1+t)]
= e^0 = 1。
2)选(D)。事实上,多次用L'Hospital法则,可得
lim(x→0)[f(x)/g(x)] = …… = 1/6,
故然。
第三张图片:
1)原极限 = lim(n→inf.)(1/n)∑(k=1~n)√[1-cos(k/n)2π]
= ∫[0,1]√(1-cos2πx)dx。
2)原极限 = lim(n→inf.)[(n!)^(1/n)](1/n) (等价无穷小替换)
= lim(n→inf.)[(1/n)(2/n)…(n/n)]^(1/n)
= lim(n→inf.)e^{(1/n)ln[(1/n)(2/n)…(n/n)]}
= lim(n→inf.)e^[∑(k=1~n)ln(k/n)(1/n)]
= e^∫[0,1]lnxdx
= e^0 = 1。
第四张图片:易算得
f(x) = x, x < 0,
= 0, x = 0,
= x^3,x > 0,
它在 R 上连续。
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