斐波那契数列的全部规律

斐波纳数列的全部规律 比如通项 从第三个数起 每个数都是前两数之和 越往后 相邻两项的比值会无限趋向于黄金比 从第3个数开始每隔两个必是2的倍数,从第4个数开始每隔3个必是3的倍数,从第5个数开始每隔4个必是5的倍数 每个奇数项的平方都比前后两项之积少1 貌似还有许多、不知道了 还有斐波那挈数列通项公式是怎么推导的?
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斐波拉契数列的简介  斐波拉契数列(又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”)是一个非常美丽、和谐的数列,它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明(如右词条图),起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1,在它左边的那个正方形的边长也是1 ,在这两个正方形的上方再放一个正方形,其边长为2,以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l……等等的正方形。这些数字每一个都等于前面两个数之和,它们正好构成了斐波那契数列。“斐波那契数列”的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年。籍贯大概是比萨)。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年,他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。  斐波那契数列指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34……   这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的算术平方根) (19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856)很有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。 斐波拉契数列的出现  13世纪初,欧洲最好的数学家是斐波拉契;他写了一本叫做《算盘书》的著作,是当时欧洲最好的数学书。书中有许多有趣的数学题,其中最有趣的是下面这个题目:   “如果一对兔子每月能生1对小兔子,而每对小兔在它出生后的第3个月裏,又能开始生1对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,由1对初生的兔子开始,1年后能繁殖成多少对兔子?” 斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串:1,1,2,3,5,8……   这串数里隐含着一个规律:从第3个数起,后面的每个数都是它前面那两个数的和。而根据这个规律,只要作一些简单的加法,就能推算出以后各个月兔子的数目了。   于是,按照这个规律推算出来的数,构成了数学史上一个有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”,又称“兔子数列”。这个数列有许多奇特的的性质,例如,从第3个数起,每个数与它后面那个数的比值,都很接近于0.618,正好与大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。人们还发现,连一些生物的生长规律,在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。   斐氏本人对这个数列并没有再做进一步的探讨。直到十九世纪初才有人详加研究,1960年左右,许多数学家对斐波拉契数列和有关的现象非常感到兴趣,不但成立了斐氏学会,还创办了相关刊物,其后各种相关文章也像斐氏的兔子一样迅速地增加。斐波拉契数列的来源及关系斐波拉契(Fibonacci)数列来源于兔子问题,它有一个递推关系,f(1)=1 f(2)=1 f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2 {f(n)}即为斐波拉契数列。斐波拉契数列的公式它的通项公式为:{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n }/√5 (注:√5表示根号5) 斐波拉契数列的某些性质1),f(n)f(n)-f(n+1)f(n-1)=(-1)^n;2), f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)=f(n+2)-1 3),arctan[1/f(2n+1)]=arctan[1/f(2n+2)]+arctan[1/f(2n+3)]
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第1个回答  2013-08-30
除了an=an-1+an-2外,还可以证明它的通项公式为:
  a(n)=(((1+5^(1/2))/2)^n-((1-5^(1/2))/2)^n)/5^(1/2)
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