第1个回答 2013-08-28
所谓不定方程，就是未知数的个数多于方程的个数，一般我们在求解的时候主要是讨论未知数的取值可能性，但是在讨论是我们可以根据题目给出的条件提高解题速度，下面是笔者总结的几个原则：
下面我们以“11届迎春杯试题”来讲解四个原则,题目见下：
现商店有7分，4分铅笔，现花6角钱各买若干只，问两种铅笔各买几只？
根据题意，我们很容易得出7x+4y=60，这样我们来讨论解法：
[原则一]：系数大的开始讨论
很容易发现：如果讨论x，我们只要讨论从1～8总共8种可能取值；
如果讨论y，我们要讨论从1～14总共14种可能取值，所以我们选择未知数前面系数大的开始讨论。
[原则二]：奇偶性讨论
很容易发现：60是个偶数，4y也是个偶数，这样我们就要求7x也必须是个偶数，所以x只能取偶数，这样我们只要讨论x取2、4、6、8四种取值。
[原则三]：倍数原理
我们容易发现，方程中有三个常数60、4、7，这样我们发现60是4的倍数，4y是4的倍数，这样7x=60-4y=4（15-y）肯定也是4的倍数，所以x也只能是4的倍数，所以x只能取4、8。
[原则四]：尾数原理（运用条件：出现5的倍数）
下面我们再来看： 9x+5y=73
5y的尾数只有0、5，
如果5y尾数为0，那么9x的尾数只能是3，所以x=7，
如果5y尾数为5，那么9x的尾数只能是8，所以x=2。
从上面我们可以发现方法得当可以大大减少计算时间，建议学生多练习。
附：
1、圆珠笔每支5角,彩色日记本每本8角现在有6元3角钱.问圆珠笔和彩色日记本各买多少,才使钱正好用光?
答案：圆珠笔11支，笔记本1本；圆珠笔3支，笔记本6本。
2、六年级某班同学48人到公园里去划船,如果每只小船可坐3人,每只大船可坐5人,那么需要小船和大船各几只?(大船小船都有)
答案：小船x大船y列方程：3x+5y＝48 x，y都是正整数
解得：x＝1，y＝9
x＝6，y＝6
x＝11，y＝3
3、装水瓶的盒子有大小两种,大的能装7个,小的能装4个,要把41个水瓶装入盒内.问需大、小盒子个多少个？
答案：设大的x个，小的y个，有：7x+4y=41
根据奇偶关系知道：x只能取奇数
x=1,y=8.5 舍去
x=3,y=5 满足
x=5,y=1.5 舍去
第2个回答 2013-08-28
1、我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3， 方程组 等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组． 不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能． 我们先看一个例子． 例 小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？ 解 设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50． 这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组． 但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解． 因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个． 若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意； 若y=4，则x=2，符合题意． 所以，这个方程有两组正整数解，即 也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔
2、不定方程：一个二元一次方程，如果没有其它的条件，它的解是不确定的，因此我们把它称为不定方程.变形、整数分离、换元、变形、整数分离直至未知数系数为1。例如：解不定方程：5x + 7y =978，并求正整数解的个数解：原方程可变形为：令 ，得：5k=3—2y，令 ，则k=1-2t∴ （t为整数）∵x、y为正整数∴满足这个条件的整数t有1，2，3，……28，故原方程应有28组正整数解。一般地，对于二元一次不定方程：ax＋by＝c，有以下结论：（1）若（a，b）∣c，则不定方程有整数解，否则无整数解.（2）若（a，b）＝1，（ ）是ax＋by＝c的一组解，则原不定方程的所有解可以写成： （t为整数）