初中数学题，求线段最大长度

Question

如题所述

Answer 1

FG长的最大值为4cm。

取AB的中点为H,连接HG、HF、HC.

三角形DEC为三角形ABC旋转所得，则∠ECB=∠DCA，且EC=BC=3cm、DC=AC=4cm；

根据三角形内角和为180°，且∠ECB=∠DCA、三角形ACD与三角形BCE均为等腰三角形，可得到：∠EBC=∠DAC；

又∠DAC+∠FAC=180°，则∠EBC+∠FAC=180°；

根据四边形内角和为360°，可得∠ACB+∠EBC+∠BFA+∠FAC=360°，从而得到∠BFA=90°；

因∠BFA=90°，则三角形AFB为直角三角形，又H为斜边AB的中点，则AH=HB=HF=1/2AB=2.5cm(根据直角三角形ABC可以求得AB=5cm）；

因H、G分别为AB、BC中点，则HG//AC,且HG=1/2AC=1.5cm

根据三角形两短边之和大于第三边的原理,且仅在三点共线时为两短边之和与第三边相等，则

FG≤ FH+HG=4cm，当且仅当F、H、G三点共线时取等号。

Answer 2

在△ABC中∠ACB=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，
所以AB=5厘米。
△ACB绕C逆时针旋转至△DCE,DA与BE相交于F,
所以CD=CA,CE=CB,∠ACD=∠BCE设为a,则∠CDA=∠CBE=(180°-a)/2,
在四边形BCDF中∠BFD=360°-(∠BCD+∠CDF+∠FBC)
=360°-（90°+a+180°-a）=90°。
所以∠ACB+∠BFD=180°，
所以A,C,B,F四点共圆，圆心为AB的中点，设为O,连OF,OG,
则OF=AB/2=5/2,
G为BC的中点,
所以OG=AC/2=3/2,
于是FG≤OF+OG=5/2+3/2=4厘米，当F,O,G三点顺序共线时取等号，
所以FG的最大值是4厘米。

Answer 3

∵∠ACB=∠DCE=90°

∴∠DCA=∠DCE-∠ACE=90°-∠ACE=∠ACB-∠ACE=∠BCE（∠DCA=∠BCE）

又∵AC=DC，BC=EC

∴△ACD∽△BCE（△ACD、△BCE都为等腰三角形且顶角相等）

∴∠DAC=∠ADC=∠BEC=∠EBC（即∠FBC=∠DAC）

∴∠FBC+∠FAC=∠DAC+∠FAC=180°

∴∠AFB=90°（□ACBF四内角和为360°）

∴A\C\B\F四点共圆，且AB为该圆直径，圆心为AB中点O。

连接OG和OF，可知：

OG=AC/2=1.5cm

OF=AB/2=2.5cm

当且仅当F、O、G三点共线时，FG取得最大值：

FGmax=OF+OG=4cm

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Answer 4

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Answer 5

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