如图所示，在三角形ABC中，AB=AC，两腰上的中线BE和CD交于点F。 求证：直线AF是BC的垂直平分线。

Question

如题所述

Answer 1

证明：

∵BE、CD为两腰上中线，AB=AC

∴△BDC≌△CEB（对称性）

∵∠BCD=∠CBE

∴∠ABE=∠ACD

∴BF=CF

∴△BAF≌△CAF

∴∠BAF=∠CAF

∴∠BGA=∠CGA=90º

∴AG垂直于BC

即直线AG是BC的垂直平分线

追问

首先，十分感谢您，如此迅速解决我的问题。
其次，这道题可不可运用线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
求出AB=AC,FB=FC,
∴A,F在BC的垂直平分线上。
虚心请教。

追答

别客气！
可以的。

Answer 2

延长AF和BC交于G
∵两腰上的中线BE和CD交于点F
AB=AC
∴BD=1/2AB，CE=1/2AC
∠ABC=∠ACB
∴BD=CE
∠DBC=∠ECB
BC=BC
∴△BCE≌△BCD(SAS)
∴CD=BE，∠BCD=∠CBE
即∠BCF=∠CBF
∴BF=CF
∠ABC-∠CBF=∠ACB-∠BCF
即∠ABF=∠ACF
∵AB=AC
BF=CF
∴△ABF≌△ACF(SAS)
∴∠BAF=∠CAF
即∠BAG=∠CAG
∵AC=AB，AG=AG
∴△ABG≌△ACG(SAS)
∴∠AGB=∠AGC，BG=CG
∵∠AGB+∠AGC=180°
∴∠AGB=90°即AG⊥BC
∴AF⊥BC即直线AF是BC的垂直平分线。

Answer 3

证明：延长AF与BC相交于M
因为两腰上的中线BE,CD交于点F
所以AD=BD=1/2AB
AE=CE=1/2AC
因为AB=AC
所以AE=AD
所以角ABC=角ACB
BD=CE
因为BC=BC
所以三角形BDC和三角形CEB全等（SAS)
所以角DCB=角EBC
所以BF=CF
因为角ABC=角ABF+角EBC
角ACB=角ACD+角DCB
所以角ABE=角ACD
所以三角形ABF和三角形ACF全等（SAS)
所以角BAF=角CAF
所以AM是角BAC的角平分线
所以AM的等腰三角形BAC的中垂线
所以AM的BC的垂直平分线（等腰三角形三线合一）

Answer 4

∵BE和CD是两腰上的中线
∴AF是BC的中线
BF=CF
又AB=AC，AF=AF
∴△ABF≌△ACF
∠AFB=∠AFC
∠AFB+∠AFC=180°
∴∠AFB=∠AFC=90°
因此，直线AF是BC的垂直平分线

Answer 5

同学，你好

能传一幅图吗？？