超几何分布的期望与方差公式怎么推导

Question

如题所述

Answer 1

证明：eξ=p
2qp
3q²p
…
k[q^(k-1)]p
…=p(1
2q
3q²
…)
设s
=1
2q
3q²
…
nq^(n-1)，
则由qs
=q
2q²
…
(n-1)q^(n-1)
nq^n
两式相减，得(1-q)s
=1
q
q²
…
q^(n-1)-nq^n
故s
=(1-q^n)/(1-q)²-nq^n/(1-q)，则
s=lim
s
=1/(1-q)²=1/p²，即eξ=1/p
e(ξ²)=p
2²qp
3²q²p
…
k²[q^(k-1)]p
…
=p[1
2²q
3²q²
…
k²q^(k-1)
…]
对于上式括号中的求和，利用导数对q求导，即
k²q^(k-1)=(kq^k)`,有
1
2²q
3²q²
…
k²q^(k-1)
…
=(q
2q²
3q³
…
kq^k
…)`(与求eξ同样方法，得到)
=[q/(1-q)²]`
=[(1-q)²-2q(1-q)(-1)]/(1-q)^4
=(1
q)/(1-q)³
=(2-p)/p³
因此e(ξ²)=p[(2-p)/p³]=(2-p)/p²
则dξ=e(ξ²)-(eξ)²=(2-p)/p²-(1/p)²=(1-p)/p²

Answer 2

证明：eξ=p
2qp
3q²p
…
k[q^(k-1)]p
…=p(1
2q
3q²
…)
设s
=1
2q
3q²
…
nq^(n-1)，
则由qs
=q
2q²
…
(n-1)q^(n-1)
nq^n
两式相减，得(1-q)s
=1
q
q²
…
q^(n-1)-nq^n
故s
=(1-q^n)/(1-q)²-nq^n/(1-q)，则
s=lim
s
=1/(1-q)²=1/p²，即eξ=1/p
e(ξ²)=p
2²qp
3²q²p
…
k²[q^(k-1)]p
…
=p[1
2²q
3²q²
…
k²q^(k-1)
…]
对于上式括号中的求和，利用导数对q求导，即
k²q^(k-1)=(kq^k)`,有
1
2²q
3²q²
…
k²q^(k-1)
…
=(q
2q²
3q³
…
kq^k
…)`(与求eξ同样方法，得到)
=[q/(1-q)²]`
=[(1-q)²-2q(1-q)(-1)]/(1-q)^4
=(1
q)/(1-q)³
=(2-p)/p³
因此e(ξ²)=p[(2-p)/p³]=(2-p)/p²
则dξ=e(ξ²)-(eξ)²=(2-p)/p²-(1/p)²=(1-p)/p²

Answer 3

期望值有两种方法：
1.
最笨的，也就是把每种情况（就是拿到0，1，2，3，4，5，6，7个指点球）都算出来[超几何分布计算公式：p(x=r)=(Cm
r*CN-M
n-r)/CNn，"C"是组合数，m与r分别是下标与上标，这里不好打出来]。然后写出概率分布列，将每一纵行的P(x=r)与r相乘，所求结果相加，即可得出期望值。
2.
还有一种就是简单的公式法，E(X)=(n*M)/N
[其中x是指定样品数，n为样品容量，M为指定样品总数，N为总体中的个体总数]，可以直接求出均值。
方差也有两种算法（都是公式法）：
1.这里设期望值为a,那么方差V(X)=（X1-a）^2*P1+(x2-a)^2*P2+...+(Xn-a)*Pn。
2.另一种是V(X)=X1^2*P1+X2^2*P2+...Xn^2*Pn-a^2
[这里同样设a为期望值]