已知函数f（x）=ax-lnx．（a为常数）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）在[1，+∞）上的最值；
（3）试证明对任意的n∈N*都有 ln(1+1n)n＜1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题．分析：（1）把a=1代入求出其导函数，得出其在定义域上的单调性即可求出函数f（x）的最值；
（2）先求出其导函数 fʹ(x)=a-1x，通过讨论a的取值得出函数在[1，+∞）上的单调性，进而求出函数f（x）在[1，+∞）上的最值；
（3）先由（1）知对任意的x∈（0，+∞）都有x-lnx≥1，即x-1≥lnx，再令x= n+1n代入x-1≥lnx即可证明结论．解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=x-lnx，，x∈（0，+∞）
∵ fʹ(x)=1-1x，令f'（x）=0得x=（12分）
∵当x∈（0，1）时，f'（x）＜0∴函数f（x）在（0，1）上为减函数
∵当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数
∴当x=1时，函数f（x）有最小值，f（x）最小值=f（1）=1（4分）
（2）∵ fʹ(x)=a-1x，
若a≤0，则对任意的x∈[1，+∞）都有f'（x）＜0，∴函数f（x）在[1，+∞）上为减函数
∴函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，没有最小值，f（x）最大值=f（1）=a；（6分）
若a＞0，令f'（x）=0得 x=1a
当0＜a＜1时， 1a＞1，当 x∈(1，1a)时f'（x）＜0，函数f（x）在 (1，1a)上为减函数
当 x∈(1a，+∞)时f'（x）＞0∴函数f（x）在 (1a，+∞)上为增函数
∴当 x=1a时，函数f（x）有最小值， f(x)最小值=f(1a)=1-ln1a（8分）
当a≥1时， 1a≤1在[1，+∞）恒有f'（x）≥0
∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）最小值=f（1）=a．（9分）
综上得：当a≤0时，函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，f（x）最大值=a；
当0＜a＜1时，函数f（x）有最小值， f(x)最小值=1-ln1a；
当a≥1时，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）最小值=a．（10分）
（3）证明：由（1）知函数f（x）=x-lnx在（0，+∞）上有最小值1
即对任意的x∈（0，+∞）都有x-lnx≥1，即x-1≥lnx，（12分）
当且仅当x=1时“=”成立
∵n∈N*∴ n+1n＞0且 n+1n≠1
∴ n+1n-1＞lnn+1n⇔1n＞lnn+1n⇔1＞nln(1+1n)⇔1＞ln(1+1n)n
∴对任意的n∈N*都有 ln(1+1n)n＜1．（14分
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