开口向上a>0 对称轴在y轴左侧ab同号，在右侧ab异号。与y轴交于正半轴，c>0，交于负半轴c<0
抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是
虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） 当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的
值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 二次函数与
一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的
顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax^2 y=a(x-h)^2 y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标 (0，0) (h，0) (h，k) (-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a) 对 称 轴 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象； 因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)． 3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小． 4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x�6�9，0)和B(x�6�0，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x�6�0-x�6�9| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点） 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．