第1个回答 2013-06-14
说实话这道题还真的有解答的方法，不过计算量太大，有点得不偿失
该点必然是以椭圆外一点O(m,n)为圆心的圆并且与椭圆相切的切点（或者说有公切线）
设切点为P(asint，bcost)，那么切线的斜率为k1 = -a/b tant （这里用求导数得斜率）
该点与O(m,n)的直线的斜率为 k2 = (n-bcost) / (m-sint)
由于OP与切线垂直，那么k1*k2 = -1
所以a/b * tant *(n-bcost) / (m-sint) = 1
展开后得到的是一个一元四次方程
然后方法是用盛金公式来求一元四次方程
一元四次方程一般式：ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0（a≠0,a,b,c,d,e∈R）
p=-(3b^2-8ac) q=3b^4+16a^2c^2-16ab^2c+16a^2bd-64a^3e
r=-(b^3-4abc+a^2d) ^2
A=p^2-3q B=pq-9r C=q^2-3pr
若A=B=0
y1=y2=y3=-p/3=-q/p=-3r/q
x1=1/4a(-b+√y1+√y2+√y3) X3=1/4a(-b+√y1-√y2-√y3)
X2=1/4a(-b-√y1+√y2-√y3) X4=1/4a(-b-√y1-√y2+√y3)
当x1=x2=x3=x4时，只有p，q，r全部为零时才能有唯一的根
若B^2-4AC=0
y1=-p+k y2=y3=-k/2
x1=1/4a(-b+√y1+√y2+√y3) X3=1/4a(-b+√y1-√y2-√y3)
X2=1/4a(-b-√y1+√y2-√y3) X4=1/4a(-b-√y1-√y2+√y3)
当x1=x2=x3=x4时，只有p，k全部为零时才能有唯一的根,因为a不能为零，所以b，c必须为零
还有其他两种情况B^2-4AC>0和B^2-4AC<0就更为复杂，你可以去找一下盛金公式