设fx在[0,1]上连续在(0,1)内可导且f(1)=0证明存在一点ξ属于(0,1)使2f(ξ)+ξf'(ξ)=0

如题所述

证明:令g(x)=x^2,G(x)=g(x)*f(x)。

因为f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导,且g(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导,

那么G(x)=g(x)*f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导。

且G(x)'=(g(x)*f(x))'=(x^2*f(x))'

=x^2f'(x)+2xf(x)

而G(0)=g(0)*f(0)=0*f(0)=0

G(1)=g(1)*f(1)=g(1)*0=0,

即G(0)=G(1),

那么在(0,1)内存在一点ξ,使G(x)'=0

即G(ξ)'=0

ξ^2f'(ξ)+2ξf(ξ)=0,又ξ≠0,则ξf'(ξ)+2f(ξ)=0

扩展资料:

1、罗尔中值定理的几何意义

若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB,除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等,则在弧 AB 上至少有一点 C,使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。

2、罗尔中值定理的证明

(1)若函数f(x)在区间(a,b)上连续且可导,并有lim(x→a+0)f(x)=lim(x→b-0)f(x)=A,则至少存在一个ξ∈(a,b),使得f(ξ)'=0。

(2)若函数f(x)在区间(a,b)上连续且可导,并有lim(x→a+0)f(x)=lim(x→b-0)f(x)=+∞(-∞),则至少存在一个ξ∈(a,b),使得f(ξ)'=0。

(3)若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且可导,并有lim(x→a+0)f(x)=lim(x→b-0)f(x)=A,则至少存在一个ξ∈(-∞,+∞),使得f(ξ)'=0。

(4)若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且可导,并有lim(x→a+0)f(x)=lim(x→b-0)f(x)=+∞(-∞),则至少存在一个ξ∈(-∞,+∞),使得f(ξ)'=0。

参考资料来源:百度百科-罗尔中值定理

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第1个回答  推荐于2017-11-23
构造函数F(x)=x²f(x),则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,F(0)=F(1)=0,由罗尔定理,存在一点ξ∈(0,1),使F'(ξ)=0。
F'(x)=2xf(x)+x²f'(x)。
所以,2ξf(ξ)+ξ²f'(ξ)=0,所以2f(ξ)+ξf'(ξ)=0。本回答被提问者采纳
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