Fx在［0，1］上连续，在(0，1)内可导，且f0=0，f1=1/3，求证存在ε∈(0，1/2)，

Question

Fx在［0，1］上连续，在(0，1)内可导，且f0=0，f1=1/3，求证存在ε∈(0，1/2)，n∈(1/2，1)，使f'(ε)+f'(n)=ε^2＋n^2

Answer 1

^令g(x)=x^3*f(x)，则g(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导

因为g(0)=0，g(1)=f(1)=0，所以根据罗尔定理

存在ξ∈(0,1)，使得g'(ξ)=0

3ξ^2*f(ξ)+ξ^3*f'(ξ)=0

3f(ξ)+ξf'(ξ)=0

主要优势：

则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。

Answer 2

^令g(x)=x^3*f(x)，则g(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导

因为g(0)=0，g(1)=f(1)=0，所以根据罗尔定理

存在ξ∈(0,1)，使得g'(ξ)=0

3ξ^2*f(ξ)+ξ^3*f'(ξ)=0

3f(ξ)+ξf'(ξ)=0

证毕

例如：

令g(x)=xf(x),0<=x<=1.

那么g(0)=g(1)=0，g'(x)=xf'(x)+f(x).

则根据罗尔定理，存在ξ∈(0,1)，使得g'(ξ)=ξf'(ξ)+f(ξ)=0，即f'(ξ)=-f(ξ)/ξ.

扩展资料：

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

参考资料来源：百度百科-罗尔中值定理

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Answer 3

通过这个方程式可以看出，这是一道数学题，应该是高中或者大学的，在0到1范围内什么什么东西，项数啥的，我毕业已经7年了，这是年轻人做的题了，你说学会这个有啥用啊，买菜用不到。生活也用不到，只是为了应试，锻炼逻辑思维能力的方式有很多种，建议这道题空着，让老师知道你的魄力，我宁可得零分，也不要做应试教育的牺牲者，好了不说了，又来了一车砖，给个优质点评吧wcnm

Answer 4

追问

为什么这里要写F0=F1=0呢？

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Answer 5

这个不知道，建议看看书