矩阵的秩和线性方程组的解

Question

设A为M*N实矩阵，
（1）求证：秩（A‘A）=秩(A') （A'表示A的转置）
（2）设X=（X1，X2.......Xn）’B是M*1矩阵，求证：
线性方程组A'AX=A'B有解

Answer 1

1,若Ax=0,则A'Ax=0; 若A'Ax=0,则x'A'Ax=0,即(Ax)'Ax=0,故Ax=0.
从而方程Ax=0跟方程A'Ax=0通解。所以r(A'A)=r(A)=r(A').

2.此方程系数矩阵为A'A,它的秩r(A'A)=r(A');
增广矩阵为(A'A/ A'B),它的秩r(A'A/ A'B)=r[A'*(A/ 'B)]<=r(A');且r(A'A/ A'B)>=r(A'A)=r(A'),故r(A'A/ A'B)=r(A')。
所以方程系数矩阵跟增广矩阵的秩相等，故原方程必然有解。追问

您好，请问若Ax=0,则A'Ax=0是为什么呀。还有。若A'Ax=0,则x'A'Ax=0,

追答

Ax=0,A'Ax=A'(Ax)=A'0=0;

第二个也是一样的原因，X'A'AX=X'(A'AX)=X'0=0