这里用了一个公式，教材里有（同济大学高等数学教材第六版248-249页例6）
公式：∫[0→π] xf(sinx) dx = (π/2)∫[0→π] f(sinx) dx
注：题目中的cos²x可看作1-sin²x，因此是sinx的函数。
这个是原例题，你自己看书吧，如果需要我给你写公式的推导过程，再追问。
【数学之美】团队为您解答，若有不懂请追问，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。追问
公式：∫[0→π] xf(sinx) dx = (π/2)∫[0→π] f(sinx) dx
注：题目中的cos²x可看作1-sin²x，因此是sinx的函数。
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我的疑问是若是看成sinx的函数，化简后函数应该是sinx/（2-sin^2x）然后再积分，但是题中是把cosx当做变量求积分的
追答sinx看作变量只为套公式而用，套完公式后的计算就与它无关了，用sinx还是cosx都行，反正能把(π/2)∫[0→π] f(sinx) dx 这个积分算出来就行，谁是变量没关系。
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第1个回答 2013-03-03
是用了∫(0→π) xf(sinx) dx = (π/2)∫(0→π) f(sinx) dx
cosx可以转化为sinx嘛
∫(0→π) xsinx/(1 + cos^2x) dx = ∫(0→π) xsinx/(1 + (1 - sin^2x)) dx
= (π/2)∫(0→π) sinx/(1 + (1 - sin^2x)) dx = (π/2)∫(0→π) sinx/(1 + cos^2x) dx
cosx可以转化为sinx嘛
∫(0→π) xsinx/(1 + cos^2x) dx = ∫(0→π) xsinx/(1 + (1 - sin^2x)) dx
= (π/2)∫(0→π) sinx/(1 + (1 - sin^2x)) dx = (π/2)∫(0→π) sinx/(1 + cos^2x) dx
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