解： 取a=-b得：f(2a)+2f(-a)=f(f(0)) 1式
在1式的基础上取a=-a,有f(-2a)+2f(a)=f(f(0)) 2式
1,2可得：f(2a)-f(-2a)=2[f(a)-f(-a)] 3式
3成立有2种情况：第一种，f(a)-f(-a)不等于0，则有【f(2a)-f(-2a)】/【f(a)-f(-a)】=2 4式
由4可得：f(x)=2x+c，且x与c均为整数 5式
任意取a=b=1，带入已知条件得：f(2a)+2f(b)=f(2)+2f(1)=2*2+c+2*(2*1+c)=8+3c，
f(f(a+b))=f(f(2))=f(2*2+c)=f(4+c)=2*(4+c)+c=8+3c，可见等式成立。
33成立有2种情况：第二种，f(a)-f(-a)=0，可得f(a)=f(-a) 6式
由6可得：f(x)为x在整数范围内的偶函数，1式可变换为f(2a)+2f(a)=f(f(0)) 7式
取a=b可得:f(2a)+2f(a)=f(f(2a)) 8式
7,8可得:f(f(0))=f(f(2a)) 结合6式可得: f(0)=f(2a) 9式
6,9可得，f(x)不仅是偶函数而且是周期为2的周期函数，又因为f(z)---Z,所以可设f(0）=m，且m为整数
取a=b=0，得:f(0)+2f(0)=f(f(0)),带入f(0）=m，3m=f(m).
取a=b=1,得：f(2)+2f(1)=f(f(2)),带入9式，得f(2)=f(0),带入f(0）=m有：m+2f(1)=3m，可得f(1)=m, 10公式
因为：f(0)=m,f(1)=m,且f(x)又是在整数范围内的偶函数跟周期为2的周期函数，
所以任意f(x)=m，前边推导的f(m)=3m,可知m=3m，也就是m的值为0，符合题设m为整数的要求。
综上所述：f(x)有2种情况，第一种为：f(x)=2x+c，x，c均为任意整数。
第二种情况：f(x)=0,x为任意整数。
设f(x)=kx+m,则f(2a)=2ka+m,f(b)=kb+m,f（a+b)=k(a+b)+m,
所以f(2a) +2f(b)=f(f(a +b)变为
2k(a+b)+3m=k^2(a+b)+km+m,
所以(k-2)[k(a+b)+m]=0,
所以k=2时m为任意整数；k=0时m=0.
所以f1(x)=0,f2(x)=2x+m.
待续。