^Det[
1 1 1 ... 1
2 2^2 2^3 ... 2^n
....
n n^2 n^3 ... n^n]
=1!2!3!...n!
不为0
因此系数矩阵有逆矩阵，因此解只有0
系数矩阵是否满秩，满秩时即只有零解。
扩展资料：
当r=n时，原方程组仅有零解；
当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。
证明
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
参考资料来源：百度百科-齐次线性方程组