^Det[
1 1 1 ... 1
2 2^2 2^3 ... 2^n
....
n n^2 n^3 ... n^n]
=1!2!3!...n!
不为0
因此系数矩阵有逆矩阵,因此解只有0
系数矩阵是否满秩,满秩时即只有零解。
扩展资料:
当r=n时,原方程组仅有零解;
当r<n时,有无穷多个解(从而有非零解)。
证明
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后,不全为零的行数r(即矩阵的秩)小于等于m(矩阵的行数),若m<n,则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元,这个n-r个自由变元可取任意取值,从而原方程组有非零解(无穷多个解)。
参考资料来源:百度百科-齐次线性方程组