两道复数解方程求助

Question

需要过程

Answer 1

首先要知道棣莫佛定理（复数的乘方）
对于复数z=r(cosθ+isinθ),有z的n次幂
z^n=(r^n)*[cos(nθ)+isin(nθ)] （其中n是正整数）
r是模长，实部与虚部平方和的算术平方根

（1）易知 r=1，且cos2θ=cosθ，sin2θ= -sinθ
所以cosθ= -1/2 sinθ=土（√3）/2
即 z= -1/2 土（√3）*i/2

（2）设z=r(cosθ+isinθ)，r（rcos2θ+1）+ir^2sin2θ=0
所以r（rcos2θ+1）=0且r^2sin2θ=0
所以r=0，z1=0
或sinθ=0，r=-1（舍）
或cosθ=0，r=1，z2=i

PS
第一题把实虚部都设出来也可以，
就是z=a+bi
i前面虚部值相等，即实部值相等就可以算出来了
和向量法差不多

（1）（a+bi）^2=(a-bi)
(a^2 -b^2)+2abi=a -bi
那么两边实部与虚部对应相等
a^2 -b^2=a
2ab= -b
由上a= -1/2 b=土（√3）/2
即 z= -1/2 土（√3）*i/2
(2) (a+bi)^2 +√（a^2+b^2）=0
(a+bi)^4=（a^2+b^2）
*其中z^2=（a+bi）^2=a^2-b^2+2abi
应该是实数(ab=0)且不大于0，否则右式有i ……（*）
用杨辉三角展开
a^4 + 4iba^3 -6(b^2)(a^2) -4iab^3+b^4=（a^2+b^2）
【a^4 +b^4 -6(b^2)(a^2)】+ 4i*【ba^3 -ab^3】=（a^2+b^2）
所以a^4 +b^4 -6(b^2)(a^2)=（a^2+b^2）……①
且ba ^3 - ab^3=0 ……②
由②a=0或b=0或b=a或b= -a
解代入①及（*），
a=0则b^4=b^2,b为实数，所以b=1或0，
z= i 或 0
b=0则a^4=a^2,a为实数，所以a=1或0，
又（*）式 z^2＜0
z=1（舍）或 0
综上0或i

所以嘛，有时候还是三角形式方便~

第二题用指数形式也可以 z=r* e^(iθ)
指数形式貌似百度百科没有细讲
用到复变函数欧拉公式
z1*z2=（r1*r2）*e^[i(θ1+θ2)]
z1/z2=（r1/r2）*e^[i(θ1-θ2)]
共轭的话就把辐角取负θ就行了

（2）把z设为r*e^(iθ)
r*r*e^(2iθ)+ r=0
i）r=0，那么z就是0喽
ii）r≠0，那么e^(2iθ)= -1/r，开方得z=r*e^(iθ)=i√r
即z=i√r=r（cosθ+isinθ），所以rcosθ=0
即cosθ=0，sinθ=1
i√r=irsinθ，由上r=1，z=i
综上0或i