【唐】杜甫
风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。
无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。
万里悲秋常作客，百年多病独登台。
艰难苦恨繁霜鬓，潦倒新停浊酒杯。
可以看出是一、二、四、六、八入韵，整首诗格律非常和谐，对仗极其工整。至于楼主所说的“哀”和“杯”不押韵。这个有几方面的原因:
首先要考虑到诗人所选取的韵谱。以平水韵来讲的话，来看（上平十灰）所有韵我们发现有：灰恢魁隈〔回〕徊槐[佳韵同]梅枚玫媒煤雷颓崔催摧堆陪〔杯〕醅嵬推[支韵同]诙裴培盔偎煨瑰茴追胚徘坯桅傀儡[贿韵同]莓开〔哀〕埃〔台〕苔抬该才材财裁栽哉〔来〕莱灾猜孩徕骀胎唉垓挨皑呆腮我们先来看一下《登高》原文:
所以我们断定《登高》押的是平水韵的（上平十灰）
除此之外，还有其他的韵谱，比如，词林正韵、中华音韵等，楼主可以去多多了解。
其次是在古代汉语的角度来讲，古代的汉字发音和现代的有所变化，所以这就造成了读音上的差别，从而在古代入韵而在现代看来却不像入韵的反差。其实放在当时都是可以这样读的。
所以说，《登高》称之为律诗第一是名副其实的，并不为过，杜甫极为讲究韵律，杜甫在律诗上的成就是极高的，
他不仅扩大了律诗的题材范围，以古体写时事进展到以律诗写时事，律诗写时事比古体难度更高，而杜甫却运用自如，如《闻官军收河南河北》《蜀相》， 还以五、七律组诗的形式表现较宽泛的内容，以组诗写律诗，极大扩大了律诗的表现力。例：七律《秋兴八首》交错着忆往昔、感盛衰、伤沦落、叹时事，八首诗层层深入。
然后是在诗境和艺术技巧上，杜甫的诗合律而不受声律束缚，浑融流畅，如:《闻官军收河南河北》《登高》，晚年的杜甫对七律拗体进行了长期的探索。他的拗体是对诗律的变通，增强了诗歌的表现力。在炼字炼句的同时保持着律诗的神韵。
总的来说，杜甫的诗歌艺术成就值得肯定，《登高》被称为第一律诗也自有身价。
首句“急”是仄声，属入声十四缉。
该诗以“仄仄平平仄仄平，平平仄仄仄平平。…”的起势，完全合乎格律。
另外，现在看诗，不必去追格律。好好体会诗意，才是正途，该诗写景恢宏浩淼，寓情于景。写情伤感悲凉，视通万里，意在言外，通过对自身的伤感，侧面反应有家不能回满目苍夷的大环境和战乱下世事之艰难。这才是该理解的。