函数的间断点是否有原函数

Question

如题所述

Answer 1

有第一类间断点的函数一定不存在原函数的说法是正确的。

如果x0是函数f(x)的间断点，且左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(discontinuity of first kind)。

在第一类间断点中，有两种情况，左右极限存在是前提。左右极限相等，但不等于该点函数值f(x0)或者该点无定义时，称为可去间断点，如函数y=(x^2-1)/(x-1)在点x=1处;左右极限在该点不相等时，称为跳跃间断点，如函数y=|x|/x在x=0处。

左右极限至少有一个不存在时，称此间断点为第二类间断点，左右极限中有一个为无穷大时，称此间断点为无穷远间断点，当函数有界时，称此第二类间断点为振荡间断点。

函数的介绍如下：

函数是数学名词，代数式中，凡相关的两数X与Y，对于每个X值，都只有一个Y的对应值。这种对应关系就表示Y是X的函数。

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作fx，得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量。