高数极限问题

Question

高数极限问题我的做法错哪里了？答案是e的1/3次方

Answer 1

consider
lim(x->∞ ) [ x. tan(1/x) ]^(x^2)
let
y=1/x
y->0
tany ~ y +(1/3)y^3
(1/y)tany ~ 1+(1/3)y^2
//
lim(x->∞ ) [ x. tan(1/x) ]^(x^2)
=lim(y->0 ) [ (1/y). tany ]^(1/y^2)
=lim(y->0 ) [ 1+ (1/3)y^2 ]^(1/y^2)
=e^(1/3)
=>
lim(n->∞ ) [n. tan(1/n) ]^(n^2) =e^(1/3)

Answer 2

正确做法应该连续化先，才可以使用洛必达法则。应该这样，1/x＝t，t趋近0正，你可以用洛必达，也可以用泰勒公式。做倒代换算，好算很多追答

最后由海涅定理知原极限＝e的1/3次方，完美。