用数列极限定义证明

Question

如题所述

Answer 1

证明：对任意的ε>0，解不等式

│1/√n│=1/√n<ε

得n>1/ε²，取N=[1/ε²]+1。

于是，对任意的ε>0，总存在自然数取N=[1/ε²]+1。当n>N时，有│1/√n│<ε

故lim(n->∞)(1/√n)=0。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

以上内容参考：百度百科-极限

Answer 2

用数列极限定义证明，过程见图。
这两道用数列极限定义证明的题，方法就是按定义，对任意给的ε，找N，具体步骤见上。

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Answer 3

证明：对任意的ε>0，解不等式
│1/√n│=1/√n<ε
得n>1/ε²，取N=[1/ε²]+1。
于是，对任意的ε>0，总存在自然数取N=[1/ε²]+1。当n>N时，有│1/√n│<ε
故lim(n->∞)(1/√n)=0。

Answer 4

注意格式!待续追答

+1，+2，+3……都无所谓，只要存在N即可。