a正定可以推出哪些

Question

如题所述

Answer 1

可以推出的结论有：

1、A为满秩矩阵（即r(A)=n）；

2、A的特征值全不为0；

3、A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）；

4、A等价于n阶单位矩阵；

5、A可表示成初等矩阵的乘积；

6、齐次线性方程组AX=0 仅有零解；

7、非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；

8、A的行（列）向量组线性无关；

9、任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。

在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。