四阶实对称矩阵A满足A^2=A，且R（A）=3，则|A+E|=?

如题所述

推荐答案 2020-02-10

设a是A的特征值
则
a^2-a
是
A^2-A
的特征值
因为
A^2-A=0,
而零矩阵的特征值只能是0
所以
a^2-a=0
所以
a(a-1)=0
所以
A
的特征值只能是
0,1
又因为A是实对称矩阵,
R(A)=3
所以
A
的特征值为
0,1,1,1
所以
A+E
的特征值为
1,2,2,2
所以
|A+E|
=
1*2*2*2
=
8.

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其他回答

第1个回答 2020-03-20

因为a可相似对角化
所以a与对角矩阵b相似,
且b的主对角线上的元素都是a的特征值
而相似矩阵的秩相同
所以对角矩阵b的秩也是为2
所以a的非零特征值的个数为2
故特征值为
0,-2,-2
总结:
可对角化的矩阵的秩
等于
矩阵非零特征值的个数

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四阶实对称矩阵A满足A^2=A,且R(A)=3,则|A+E|=?答：a^2-a=0 所以 a(a-1)=0 所以 A 的特征值只能是 0,1 又因为A是实对称矩阵,R(A)=3 所以 A 的特征值为 0,1,1,1 所以 A+E 的特征值为 1,2,2,2 所以 |A+E| = 1*2*2*2 = 8.

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