在复数范围内分解因式：x^4-9

Question

如题所述

Answer 1

根据平方差公式
a" - b" = ( a - b )( a + b )

x^4 - 9
= (x")" - 3"
= ( x" - 3 )( x" + 3 ) —— 有理数结果
= [ x" - (√3)" ]( x" + 3 )
= ( x - √3 )( x + √3 )( x" + 3 ) —— 实数结果
= ( x - √3 )( x + √3 )[ x" - (√3i)" ]
= ( x - √3 )( x + √3 )( x - √3i )( x + √3i ) —— 复数结果追问

　　x - √3能分解吗

追答

x 就没有二次了，也只能分解到一次啊。
思路或者我也没有写完整，
( x - √3 )( x + √3 )( x" + 3 )
= ( x - √3 )( x + √3 )[ x" + (√3)" ]
= ( x - √3 )( x + √3 )[ x" - (√3i)" ]
= ( x - √3 )( x + √3 )( x - √3i )( x + √3i )

追问

为什么只能分到一次啊

追答

想想分解因数，
4 = 2 X 2 X 1，
1 = 1 X 1，
短除法做到 1 就是止境了，
1 是所有数字的公因数，
一次也就是最简形式了。

想想分解因式解方程，
一元一次方程只有一个解，
一元二次方程有两个解，( x - a )( x - b ) = 0
一元三次方程也可能三个解，( x - a )( x - b )( x - c ) = 0
一元四次方程还可能四个解……

总之，几次方程最多就是几个解，
就是因为几次的方程式，
分解因式最多就能得到几个因式，
这些因式也全都是一次项的因式。

追问

谢谢

追答

开动脑筋，马到成功！

Answer 2

解：x^4-9＝﹙x²－3﹚﹙x²＋3﹚
＝﹙x－√3﹚﹙x＋√3﹚﹙x﹣√3i﹚﹙x＋√3i﹚.追问

为什么啊？有公式吗？谢谢

为什么啊？有公式吗？谢谢

为什么啊？有公式吗？谢谢

为什么啊？有公式吗？谢谢

为什么啊？有公式吗？谢谢

为什么啊？有公式吗？谢谢

为什么啊？有公式吗？谢谢

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追答

初中的平方差公式。
a²－b²＝﹙a－b﹚﹙a＋b﹚.

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