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    • 已知 A满足A平方=A ，E为单位矩阵，证明：A 可逆，并求其逆阵。 （2）r(A)+r(A-E)=n ．

    如题所述

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    推荐答案   2011-04-07
    由A平方=A 得 A(A–E) = 0
    所以 A–E 的列向量都是 AX=0的解, 所以 r(A–E) <= n–r(A).
    所以 r(A) + r(A–E) <= n.
    另一方面, n = r(E) = r(A–(A–E)) <= r(A) + r(A–E).
    综上有
    r(A)+r(A-E)=n ．
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    第1个回答  2011-04-07
    (1) 结论是错误的. 满足A^2=A的矩阵不一定可逆, 如A=[1 0 ; 0 0].

    (2) 因 A^2=A ，所以 A^2-A=A*(A-E)=0, 有 r(A)+r(A-E)≤n;
    又 r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n
    故 r(A)+r(A-E)=n.
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