地震反射波的运动学

Question

如题所述

Answer 1

地震反射波运动学是研究在地表激发和观测时，地下各种介质结构产生的反射波时距关系。假设已知地下各种反射界面产状和速度参数，则可采用镜像原理(或称虚震源法)来研究正演问题。

1.6.1.1 反射波时距曲面方程的建立

如图1-31所示，设地面Q为水平面，有一平直反射界面R与地面的夹角为ψ，ψ称为地层真倾角，界面上部地层的波速度为V(仅考虑P波激发和P波接收，V相当V_P)，地震测线在地面沿x方向布置，测线与界面倾向的夹角为α。现以O点为激发点，并取激发点O(0，0，0)是坐标原点，z轴垂直向下，地面垂直到界面的深度H称为真深度(或铅垂深度)，y轴在地面与x轴正交，激发点O 相对界面R的镜像点O^∗(x_m，y_m，z_m)称为虚震源。

如果在O点激发地震P 波，P 波将以球面波形式向下传播，遇到界面 R 产生反射。若沿x测线接收反射P波，则可接收到来自界面上沿L线各点的反射波，称L 线为反射线(反射点连线)。设S(x，0，0)为观测线上任一观测点，则 S点接收的反射波是来自 L线上B点的反射，其射线传播路径为OBS，根据反射定律，射线路径OBS所组成的三角形一定是在包含测线x且垂直反射界面R的平面内，这个平面称为射线平面。在射线平面内，地表O点垂直(沿测线方向垂直地面)到界面的距离H^∗为视深度，反射线L上的A点(法线)到地面O点的距离h称为法线深度。反射线L与地面的夹角φ_x称为视倾角。

图1-31 反射波时距曲面示意图

针对图1-31所示的地层模型和观测方式，我们可以建立以下关系：

1)当α=0，即x 轴垂直界面走向时，射线平面既垂直地面，又垂直界面，有 φ_x=ψ，H^∗=H；当α=90°时，x轴平行走向，射线平面垂直界面，有φ_x=0，h=H^∗。

2)当在平面Q任意点S(x，y，O)接收反射波时，利用三角形△OBS和△OO^∗S的关系，可证明距离

，从而可求得O点激发，S(x，y，O)点接收的反射P波传播时间t为

地震勘探原理、方法及解释

或

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上式说明，在O点激发，在Q面S(x，y，O)点接收的界面R上反射波的到达时间与距离x、y的关系是一个旋转双曲面，故称为时距曲面。时距曲面有以下特征：①当x=x_m、y=y_m时，t取最小值，即

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可见双曲面的极小点在虚震源O^∗(x_m，y_m，z_m)垂直地面的投影点O₁(x_m，y_m，O)的正上方，若将时距曲面垂直投影到地面，则图形为以O₁为圆心的一系列同心圆，同一圆弧线为一等时线，见图1-32；②当x=y=0 时，在O(0，0，0)点接收，称为自激自收或法线反射，则

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t₀称为法线反射时间；③当y=0时，称为二维测线或纵测线，这时反射波时距关系则由双曲面变为一个双曲线，称为时距曲线，其方程为

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图1-32 反射波时距曲面的等时图

3)各种倾角之间的关系和各种深度之间的关系：①真倾角与视倾角的关系，见图1-31，设O₁点到x轴的垂直投影点为O₂，由三角形△OO^∗O₁、△OO^∗O₂及△OO₁O₂，可建立关系

sinφ_x=sinψcosα (1.6-6)

该式为真倾角、视倾角及测线与倾向夹角α之间的关系式；②真深度、视深度和法线深度之间的关系为

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1.6.1.2 单水平界面直达波、反射波时距曲线及正常时差

设地下界面为一个水平界面，据二维纵测线时距方程式(1.6-5)，当界面水平时，φ=0，即有x_m=0，得水平界面的时距方程为

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或

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可见，当地层水平时，单层介质反射波时距曲线是一个以坐标原点O为对称的标准双曲线(如图1-33)，式中

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为法线反射时间，也为双曲线的极小点。

当界面深度h→0时，式(1.6-8)成为直线方程，

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该式为反射波双曲线的渐近线方程。式(1.6-11)也称为直达波方程，即相当于波沿地表从激发点传播到接收点，这种波称直达波。

当2h＞＞x时，可将双曲线方程

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用二项式展开，并省略高次项，则时间t可近似表示为

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观察x₁和x₂两接收点之间反射波时差Δt，当取x₁=0，x₂=x时，

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图1-33 一个水平界面的反射波时距曲线图

Δt称为正常时差，在V和h一定时，正常时差取决于炮检距x。可见正常时差是由非零炮检距而引起的，即为x点接收的反射波时间t_x与法线反射时间t₀之差。

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Δt的变化规律为：Δt与x²成正比，Δt与速度V成反比，Δt与界面深度h成反比。

另外，由视速度定理

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反射波时距曲线不同部位(对应不同x)的斜率也可用不同的视速度表示。

图1-34 一个倾斜界面的反射波时距曲线

1.6.1.3 单倾斜界面反射波时距曲线和倾角时差

1.6.1.3.1 单斜倾斜界面反射波时距曲线

当地层倾斜时，二维测线反射波时距曲线方程为

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在一般情况下，二维测线并非完全沿着地层倾向方向布置，在射线平面内反射界面与地面的夹角为视倾角φ_x，如图1-34所示的界面模型，视倾角与法线深度h及x_m的关系为

x_m=-2hsinφ_x(1.6-18)

若界面沿x正向上倾，则x_m取正值。将x_m代入时距方程得

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该式也可写成

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可见，单倾斜界面反射波时距曲线仍为一个标准的双曲线，当x=x_m时，时间取最小值

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为双曲线顶点，说明倾斜地层反射波时距曲线极小点偏离激发点O，并恒位于激发点的地层上倾一侧，偏离距离与h和φ_x成正比。式(1.6-20)渐近线方程为

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其斜率仍为

(注意该方程与直达波的区别)。

1.6.1.3.2 倾角时差

当测线沿界面倾向方向布置时，视倾角φ_x就是真倾角ψ，即式(1.6-19)可写成

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将上式进行二项式展开，并略去高次项得

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现取激发点O两边两个对称的观测点x和-x代入式(1.6-24)，可得两点的时间t₁和t₂为

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因两观测点炮检距相同，即正常时差也相同，若求t₁与t₂的时差Δt_d

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Δt_d称为倾角时差，即为地层倾斜而引起的时差。对α=0 以及中间激发的对称观测方式，在已知倾角时差和地层速度时，即可求得地层倾角ψ：

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以上所述纵测线是指将激发点和观测点排列在一条直线上，当激发点和观测点不是排列在一个直线上时，称为非纵测线。当激发点和观测点排列在一条弯曲线(如沿山沟排列)上时，称为弯曲测线。非纵测线或弯曲测线的时距方程均可用下式表示：

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式中：x_R、y_R为观测点坐标。该时距曲线一定是在旋转双曲面上。

1.6.1.4 界面曲率对反射波时距曲线的影响

当界面为非平直界面时称为弯曲界面。弯曲界面也可分为凸界面和凹界面。当界面弯曲时，反射波时距曲线要发生变化。

1.6.1.4.1 凸界面情况

如图1-35所示，在凸界面顶上O点激发，在O点两边接收反射波，根据Snell定理，反射波反射线要向两边发散，在曲率较大的凸界面顶部某些区域甚至接收不到反射波。

1.6.1.4.2 凹界面情况

当界面为凹界面时，设曲界面的曲率半径为R，界面埋深为H，可根据R及H的不同分为以下几种情况：

1)R≥H时，产生聚焦现象。反射线向激发点O靠拢，形成反射波聚焦现象。尤其是当R=H时，半径为R的半圆形反射界面上的反射波会聚集于一点O。

2)R＜H时，产生回转波。当凹界面曲率较大时，曲率半径R就会较小，当R＜H时，产生回转波。如图1-36所示，一般情况随着反射点向x正方向移动，反射波到达地面的位置也向x正方向延伸，而在凹界面C—G段，随反射点右移，反射波到达地面的点却向相反方向移动，称C—G段的这种反射波为回转波，C、G点称为回转点。在该两点处，正常反射波和回转波时距曲线相切，回转波时距曲线的极小点与凹界面的最低点相对应。

图1-35 凸界面反射波发散

图1-36 凹界面的回转波时距曲线

值得注意的是，当测线平行凹界面走向时，可能会存在侧反射问题。这时在地面一维观测可得到来自地下三维空间的地震信息。该问题也可归属三维地震勘探。

1.6.1.5 多层介质反射波时距曲线

实际的地质介质特别是沉积岩层，是由多个不同性质的地层组成的，如图1-37，称为层状介质。当各层地层倾角均为零时，称为水平层状介质。

图1-37 多层水平层状介质及其时距曲线示意图

图1-37表示一个n层水平层状模型。设O点为激发点，有一射线倾斜入射，在第n层A点反射后到达观测点S的时间t为

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式中：Δh_i为第i层厚度；V_i为第i层速度；α_i为第i层入射角；l_i为波在第i层传播距离。

由Snell定理

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式中：P为射线参数，即有

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应用二项式展开，并令t_i=Δh_i/V_i为层间单程垂直走时，得

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同理，也可将炮检距x表示为

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在激发点附近接收时，x比较小，即α_i角比较小，可略去PV_i的高次项，得近似公式为

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(1.6-34)式是以参数P为参量的方程，称为参数方程。将以上两式分别平方，略去PV_i的高次项，消去参数P，经化简后得

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式中

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t₀为波在反射层以上垂直往返时间，V_σ称为均方根速度。它是以各层的层速度加权再取均方根值。

由式(1.6-35)可见，在水平层状介质，当x较小时，(

，H为界面深度)，反射波时距曲线可近似为双曲线(实际是高次曲线)，这种近似程度随x的增大而降低。在双曲线的近似条件下，V=V_σ，相当于把n层以上层状介质等价为具有均方根速度的均匀介质。

对于倾斜层状介质，可得类似水平层状介质的时距曲线方程

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式中

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V_φ称为等效速度，φ_x为反射层视倾角。

由以上讨论可知，在层状介质中波的射线为一系列折线，若定义波沿射线传播的速度为射线速度，用V_r表示，则

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当射线沿界面法线入射时，α₁=α₂=…=α_n=0，得

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称为平均速度，H为反射界面深度，T为波单向传播总时间。平均速度与均方根速度之间满足

＜V_σ。

1.6.1.6 连续介质中波的时间场和反射波时距曲线

层状介质模型是实际介质的一种近似。不少地区，特别是沉积旋回比较明显的地区往往是由许多薄层组成。当层数无限增多，层厚度Δh_i→0时的介质就成为连续介质。连续介质中速度是空间的连续函数。下面讨论波在连续介质中的运动学特点和时距曲线。

图1-38 连续介质射线模型

1.6.1.6.1 反射波在连续介质中传播的运动学特点

在二维空间(x，z)坐标系统内，可以把连续介质看成是无限多个具有很薄厚度(Δz)的水平层，每层的速度分别为V₀、V₁、V₂、…

如果地震波的任一条射线在各薄层中的入射角为α₀、α₁、α₂、…(如图1-38)，则根据Snell定理有

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不同的入射角α₀可以得出不同的射线路径，它们对应不同的射线参数P值。

当介质由层状过渡到连续介质时，速度变成深度z的函数，即V=V(z)，射线的轨迹亦由折线过渡为曲线，射线在每一深度的入射角也将是深度的函数，α=α(z)，由此可得

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若令每一薄层内波传播的路径长度为ds，则

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得

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由

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式(1.6-42)和式(1.6-43)可写成

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式(1.6-44)为连续介质的参数方程。一般而言，联立求解式(1.6-44)这两个方程，消去参数P，就可得到地震波在连续介质中传播的射线方程、等时线方程及时距曲线方程。但在实际求解中，由于速度是深度的函数，所以当选取不同的速度模型时，求解的结果就会不一样。

通常，速度随深度变化最简单的是一种线性变化关系，即设

V(z)=V₀+kz=V₀(1+βz) (1.6-45)

式中：V₀是z=0时的速度；

，k为常数，指速度随深度变化率。将式(1.6-45)代入式(1.6-44)，可得射线方程及等时线方程。

1)射线方程：将速度函数V(z)代入参数方程x的表达式，并求积分可得

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将

代入上式，整理后得

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在z=0处，

，则式(1.6-46)为

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将该式移项后两边平方得

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式中

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式(1.6-48)为波在速度模型V(z)=V₀(1+βz)的连续介质中传播时的射线方程。该方程说明：射线轨迹是以圆心在(x₁，z₁)、半径为R₁的圆弧。圆的大小及圆心位置与入射角α₀有关，圆弧一定过O点，圆心位于沿x方向z=-

的直线上，如图1-39。由此可见，在连续介质中，速度随深度线性变化时，地震波的射线是从激发点出发的一族圆弧曲线。

图1-39 V=V₀(1+βz)情况下连续介质中的射线轨迹

2)波前面或等时线方程：同样将V(z)代入参数方程t的表达式，并积分可得

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对该式两边取指数后平方，经三角函数简化后可解得

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及

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将cosα及sinα代入式(1.6-46′)，得

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两边取平方，并利用双曲余弦和双曲正弦之间的关系ch²(V₀βt)-sh²(V₀βt)=1，则上式可写为

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式(1.6-52)为V=V₀(1+βz)的连续介质中地震波传播的波前面或等时线方程。可见V=V₀(1+βz)连续介质中等时线方程为圆，圆心在(0，

[ch(V₀βt)-1])，半径为

sh(V₀βt)。随着传播时间t的不同，波前面为一系列圆心在坐标z轴上移动的圆弧，如图1-40。由于波前面与射线正交，即可将图1-39和图1-40重叠在一起，称为射线图板。

图1-40 V=V₀(1+βz)时的等时线轨迹

1.6.1.6.2 在 V=V₀(1+βz)的连续介质中，回折波和反射波的时距曲线

在连续介质中，波的射线是圆弧线，因此从激发点产生的波都以圆弧路径传播。它不像均匀介质中的直达波按最近距离路径从激发点直接到达接收点，而是按最小时间路径沿圆弧轨迹从激发点出发向下到达某一深度Z_m后，再向上返回到地面接收点，人们称这种波为回折直达波或者回折波，如图1-41。显然，回折波的传播深度与入射角α有关，α越小，回折波传播深度越大，各条射线回折的深度Z_m应该等于该圆弧射线的半径ρ减去

，即

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回折波的时距曲线方程可由式(1.6-52)导出为：

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可见，连续介质中回折直达波时距曲线已不是一条直线，而是一条反双曲余弦曲线。

如图1-41，如果在地下Z=H处，存在一个速度突变界面R，当上覆连续介质中的波射线遇到界面R就会产生反射波。由图可见，产生反射波的界面段和接收反射波的地段是受到一定条件限制的。从O点发出的回折波中，总有一条射线的回折深度Z_m=H，入射角为α_m，当入射角α＞α_m的回折波的回折深度均小于Z_m，这些波射线未到达界面R就回折到地面为回折直达波。而入射角α＜α_m的波射线在向下传播中一定会遇到界面 R 并以反射波的形式到达地面。于是Z_m=H的那条回折直达波的射线与界面R的切点M和在地面的出射点A为区分回折直达波和反射波的分界线。即在0—A以内的观测点S₁、S₂…才能接收到回折直达波和界面R的反射波。在界面R的O—M段才会产生反射波。

图1-41 V=V₀(1+βz)情况下的回折波和反射波时距曲线

该反射波时距曲线方程同样可从式(1.6-52)导出为：

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该反射波时距曲线不是一条双曲线。在x=A时，反射波时距曲线与回折波时距曲线相切。