为什么空间曲线中一个点的切向量坐标等于这个点x, y, z的参数方程的导数?

Question

为什么空间曲线中一个点的切向量坐标等于这个点x, y, z的参数方程的导数?求证明过程

Answer 1

设曲线的参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t),t是参数.在点P0(x0,y0,z0)处对应的参数为t0.
设点P(x,y,z)是曲线上另外一点,对应的参数为t,那么直线PP0的方程为

(x-x0)/[x(t)-x(t0)]=(y-y0)/[y(t)-y(t0)]=(z-z0)/[z(t)-z(t0)]
将分母全部除以t-t0,并令t→t0,可知分母就变成了x'(t0),y'(t0)和z'(t0),这就是在P0处的切线方程,其方向向量恰好就是分母的x'(t0),y'(t0)和z'(t0)追问

错了

追答

什么错了？

追问

我错了