正三棱锥P-ABC的底面边长和高均为4,E、F是BC、PA的中点，则EF长为？ 快！！！急！！！

Question

非常急，步骤写清楚点！！

Answer 1

连结PE、AE，作PH垂直平面ABC，H为正三角形外心（重心），

PH=4,

AE=2√3，

HE=2√3/3，(根据重心性质。1/3中线）

根据勾股定理，

PE=√（PH^2+HE^2)

=2√39/3，

AH=4√3/3,，(根据重心性质,2/3中线）

PA=√(PH^2+AH^2)

=8√3/3，

在三角形PAF中根据中线定理，

PE^2+AE^2=PA^2/2+2EF^2,(用余弦定理证明），

EF=2√21/3。 

也可两次利用余弦定理，对三角形PAE求出cos<APE,

再用余弦定理解三角形PEF，求出EF。

Answer 2

侧棱的长与底面边长相等，则正三棱锥4个面均是正三角形

P做PD垂直与BC交BC于D，连AD

PD为三角形PCB的三线和一，所以在三角形ABC中，AD垂直于BC

所以PA垂直于BC