求(a+b+c)的5次方的项数，有过程

Question

如题所述

Answer 1

（a+b+c)的5次方的展开式中每一项为C*(a^j)*(b^k)*(c^p),其中C为常数，j+k+p=5,j>=0,k>=0,p>=0.求方程j+k+p=5解的个数，相当于5个球放入j,k,p三个箱子的放法总数，显然，每个球均有3种放法，总共有5 个球，所以5个球放入j,k,p三个箱子的放法总数为3^5=243种，故(a+b+c)的5次方的项数为243.

Answer 2

估计楼主被上面两位(lzx998179和ybszgsq)的方法搞晕了

上面两位都把问题转化为“3个盒子装5个球，共有几种装法”的问题，但给出的结论却天壤之别。

展开后的每一项都是(a^m)(b^n)(c^k)的形式，其中0≤m≤5，0≤n≤5，0≤k≤5，m+n+k=5

假设不考虑m+n+k=5，即m可以从0取到5，共6种取值，n、k也是一样，总的取值方法也只有：
6×6×6=216<243
显然 lzx998179 的结论是错的

因为m+n+k=5，则可以如 ybszgsq 的分析用隔板法求解，结论即是C(7, 2)=21项

当然，也可以分类分析：
m=5时，(n, k)取(0, 0)，1种
m=4时，(n, k)取(1, 0)(0, 1)，2种
m=3时，(n, k)取(2, 0)(1, 1)(0, 2)，3种
m=2时，(n, k)取(3, 0)(2, 1)(1, 2)(0, 3)，4种
m=1时，(n, k)取(4, 0)(3, 1)(2, 2)(1, 3)(0, 4)，5种
m=0时，(n, k)取(5, 0)(4, 1)(3, 2)(2, 3)(1, 4)(0, 5)，6种
共有1+2+3+4+5+6=21项

也可以这么分析：
m依次从0~5取一个值后，n只能从0~(5-m)中取值，剩下的k就是(5-m-n)了
那么总的取值法是：6+5+4+3+2+1=21
即：展开式有21项本回答被提问者采纳

Answer 3

展开式中项都是含形如(a^m)(b^n)(c^p)，其中m+n+p=5，且m、n、p是非负整数。
于是问题可转化为求上述方程的非负整数解的个数问题。
可把m、n、p看作是三个盒子，一共装有5个球，计算放球个数的方法总数。可用隔板法来求解。
将5个球排成一排中间放入2块隔板，将这5个球分成3堆，每一堆放入一个盒子内。
球和隔板共占有7个位置，于是有放法C(7，2)=21种（C(7，2)表示组合数）。
故展开式共有21项。