第1个回答 2018-01-08
当直线l与x轴平行时,以AB为直径的圆方程为x²+(y+1/3)²=(4/3)²,
当直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆方程为x²+y²=1
∴两圆的切点为点(0,1),
故所求的点M为点(0,1),证明如下.
①当直线l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点(0,1);
②当直线l与x轴不垂直时,可设直线l:y=kx−1/3,
连立椭圆方程x²/2+y²=1,得:(18k²+9)x²-12kx-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则:x1+x2=12k/(18k²+9),x1x2=−16/(18k²+9),
向量MA=(x1,y1-1),向量MB=(x2,y2-1),
∴MA•MB=x1x2+y1y2-y1-y2+1=(1+k²)x1x2−4/3k×(x1+x2)+16/9=(-16-16k²)/(18k²+9)-(16k²)/(18k²+9)+16/9=-(32k²+16)/(18k²+9)+16/9=0
∴MA⊥MB,即以AB为直径的圆过点(0,1).
综上所述,存在一个定点T(0,1),使得以AB为直径的圆恒过定点M