如何判断线性变换是否可逆？

Question

如题所述

Answer 1

可逆线性变换亦称非退化线性变换，或满秩线性变换，是一种特殊的线性变换，设V是数域P上的线性空间，σ是V的线性变换，若存在V的变换τ，使στ＝τσ＝I，其中I为单位变换，则σ称为可逆线性变换，τ称为σ的逆变换，V上的可逆线性变换σ的逆变换仍为V的线性变换，且是惟一的，记为σ。

因为｜A| = 1≠0,故A可逆．而f不是可逆线性变换所以B不可逆．所以｜B| = 0即｜B| = a = 0。

逆变换我用S表示：S(1)=1，S(1+x)=x，S(1+x+x^2)=x^2，即S(1)=1，S(x)=S(1+x)--S(1)=x--1，S(x^2)=S(1+x+x^2)--S(1)--S(x)=x^2--1--(x--1)=x^2--x。

可逆线性变换中的可逆说明这个线性变换是一个一一映射。

可逆变换可以在很大程度上保留原有的信息比如二次型X^TAX，用X=CY可以得到Y^T(C^TAC)Y，研究完C^TAC的性质之后。

还可以通过Y=C^{-1}X再变回去分析原问题的性质如果随意用不可逆变换，那么取C=0就行了，所有标准型都是0，没有任何价值如果不可逆的话（例如零矩阵变换），无法保证变换成标准型（此时即使变换成标准型，也不能保证唯一。）。