为什么R（ AB）一定= R（ B）？

Question

如题所述

Answer 1

A=diag（1，1，0）=B，则AB=B，所以r(AB)=r(B)，但A既不是行满秩也不是列满秩。

但是，若A列满秩，则一定有r(AB)=r(B)

Answer 2

R(AB) = R(B) 的条件是A的列满秩，也就是说A的列向量线性无关。
因为如果A的列满秩，那么Ax=0只有零解，也就是说，对于任何非零向量x，Ax都不等于0。因此，当B是任何非零向量时，AB都不是零向量，所以R(AB) = R(B)。
如果A的列不满秩，那么就有可能存在非零向量x使得Ax=0，这样就有可能存在非零向量B使得AB=0，因此R(AB)不一定等于R(B)。