另一个侧面是正三角形
(1)求证:AD垂直BC(2)求二面角BACD的平面角的余弦值(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由。(要详细过程)
1、取BC中点H,连结AH、BH,
∵BD=CD,AB=AC,
∴AH⊥BC,DH⊥BC,
∵AH∩DH=H,
∴BC⊥平面AHD,
∵AD∈平面AHD,
∴AD⊥BC。
2、取AC中点M,AD中点N,连结MN、BN、BM,
∵MN是△ABC中位线,
∴MN//BC,
∵BC⊥AC,
∴MN⊥AC,
∵△ABC是正△,BM是中线,
∴BM⊥AC,
∴〈BMN是二面角B-AC-D的平面角,
MN=CD/2=1/2,
BM=√3AC=√6/2,
BN=AD/2=√3/2,
在△MNB中,根据余弦定理,
cos<BMN=(MN^2+BM^2-BN^2)/(2*MN*BM)
=(1/4+6/4-3/4)/(2*1/2*√6/2)=√6/3,
∴二面角B-AC-D的平面角的余弦值为√6/3。
3、前已说明BC⊥DH,BC⊥A,
∴〈DHA是二面角A-BC-D的平面角,
根据勾股定理逆定理,△BDC是等腰RT△,〈BDC=90°,
根据余弦定理,cos<DHA=-√3/3,
作AQ⊥平面BCD,垂足Q,则Q在DH的延线上,
cos<AHQ=√3/3,
HQ=AH*cos<AHQ=√2/2,AQ=1,
HQ=DH,
∴在平面BCD上,Q和D关于BC的对称点,
△BDQ也是等腰RT△,
DQ=BD=1,
设所求E点在平面BCD上的射影P,它在DQ上,
设EC=x,
CE/AC=EP/AQ,
x/√2=EP/1,
EP=√2x/2,
DE=√(CD^2+CE^2)=√(1+x^2),
EP/DE=sin<EDP=sin30°=1/2,
(√2x/2)/√(1+x^2)=1/2,
x=1,
EC=1,
∴在直线AC上存在这样一点E,使ED与面BCD成30°角,
E点距C为1之处。