如图,在三角形ABC中,AM是BC边的中线,AE为BC边上的高,试判断AB^2+AC^2与AM^2+BM^2的关系,并说明理由.

Question

那种AM^2是指AM的平方.初中生的题目,考的是勾股定理.稍微写详细点,并且最好是只运用到初中范围内学过的知识.谢谢~~~~

Answer 1

关系是：AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)。
证明：因为 AE是BC边上的高，
所以 三角形ABE,三角形ACE,三角形AME都是是直角三角形，
所以 由勾股定理可得：AB^2=AE^2+BE^2 (1)
AC^2=AE^2+CE^2 (2)
AE^2=AM^2--EM^2 (3)

(1)+(2)得： AB^2+AC^2=2AE^2+BE^2+CE^2 (4)
把(3)代入(4)得：AB^2+AC^2=2AM^2--2EM^2+BE^2+CE^2
=2AM^2+(BE^2--EM^2)+(CE^2--EM^2)
=2AM^2+(BE+EM)(BE--EM)+(CE+EM)(CE--EM)
=2AM^2+BM(BE--EM)+CM(CE+EM)
因为 AM是BC边上的中线。
所以 BM=CM, BC=2BM,
所以 AB^2+AC^2=2AM^2+BM(BE--EM+CE+EM)
=2AM^2+BM*(BE+CE)
=2AM^2+BM*BC
=2AM^2+2BM^2
=2(AM^2+BM^2)。

Answer 2

AB^2+AC^2=BE^2+AE^2+CE^2+AE^2=BE^2+CE^2+2AE^2=(BM-EM)^2+(BM+EM)^2+2AE^2
=2BM^2+2EM^2+2AE^2
AM^2+BM^2=EM^2+AE^2+BM^2
两者是二倍关系本回答被提问者采纳