数学~请问 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 +.... + n^2 怎么求和呢？

Question

请问 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 +.... + n^2 怎么求和呢？

请写出具体过程和分析，非常感谢！

Answer 1

Sn=n(n+1)(2n+1)/6
用阶差法求：
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
n^3=(n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3=(n-2)^3+3(n-2)^2+3(n-2)+1
……
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
1^3=0^3+3*0^2+3*0+1
将上式累加,可得
(n+1)^3=3*Sn+3*(1+2+3+……+n)+n+1
可得
Sn=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 +.... + n^2
解：
由立方差公式：
n^3-(n-1)^3=[n-(n-1)][n^2+n(n-1)+(n-1)^2]=3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1
(n-2)^3-(n-3)^3=3(n-2)^2-3(n-2)+1
...
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
1^3=3*1^2-3*1+1
以上n个式子相加：
--->n^3=3(1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2)-3(1+2+3+4+...+n)+n
--->1^2+2^2+3^+4^2+...+n^2=[n^3+(3/2)n(n+1)-n]/3
　　　　　　　　　　　=(1/6)n[2n^2+3n+3-2]
　　　　　　　　　　　=(1/6)n(n+1)(2n+1)本回答被网友采纳

Answer 3

0^2+1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
0^2+1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6