怎么证明矩阵的伴随矩阵是正定矩阵

如题所述

推荐答案 2011-12-31

这个简单,正定阵的充要条件是特征值全是正数,
我们有一个定理是可逆矩阵A的特征值是a,则A*的特征值一定是是|A|/a.这说明A*的正定性与A正定性有一定关系
因此若能证明A是正定的则A*一定是正定的,
若A是负定的(特征值全是负数),且|A|>0,则伴随矩阵也是正定的,

定理的证明可以这样,由伴随矩阵定义A*A=|A|E.若Ax=ax,则A|x=|A|Ex=A*Ax=aA*x,因此A*x=|A|/ax

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第1个回答 2011-12-31

由伴随矩阵定义A*A=|A|E.若Ax=ax,则A|x=|A|Ex=A*Ax=aA*x,因此A*x=|A|/ax
因此若A是正定的则A*一定是正定的,

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怎么证明矩阵的伴随矩阵是正定矩阵答：因此若能证明A是正定的则A*一定是正定的,若A是负定的(特征值全是负数),且|A|>0,则伴随矩阵也是正定的,定理的证明可以这样,由伴随矩阵定义A*A=|A|E.若Ax=ax,则A|x=|A|Ex=A*Ax=aA*x,因此A*x=|A|/ax

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