在数学的发展史中,重要数学概念的形成离不开数学的发展,这些概念的形成对数学的发展有推动作用.函数概念是数学概念中的一个非常典型的数学概念.函数概念的形成,从最初的萌芽阶段到最终形成历经了一千多年.纵观数学的发展史,函数概念的每一次升华都是数学发展到一定阶段的产物,并对后面数学的发展作出推动作用.研究函数概念的发展。
最早给出函数概念的明确定义的是,1667年，他的函数定义为：“它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的。”这最后一句话的意思，据他解释是“除了五种代数运算外，必须加上第六种运算即趋于极限的运算。”
莱布尼茨首次用“ function ” 一词表示幂，即 。1673年，他用 “ function ” 一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量。
记号 是欧拉1743年引进的。当时，欧拉认为函数是一条可以随意描绘出的曲线。1748年欧拉把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式。
上述种种函数定义，用现在的观点看，无非是函数表示法中的解析表示法和图象表示法。
1775年欧拉又给出一个新的函数定义：
如果一个变量依赖于另一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个量是第二个量的函数。
虽然18世纪对函数概念有多种不同的抽象和理解，但占统治地位的函数概念是：函数是由一个解析表达式给出的。
这些函数概念是人们对各种具体的函数关系的不断和反复认识，经过抽象得出的，但都反映了一个量对另一量的依赖关系，都是“变化”和“运动”的辩证唯物主义观点的抽象。
1837年高斯和雅可比（1804-1851）的学生，黎曼的指导老师狄利克雷（1805-1859）给出了一个函数定。他说：“如果对于某区间上的每一个确定的x值，按照某一法则y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x函数。”
狄利克雷的定义一方面继承了欧拉等人关于函数概念的精神，又打破了把“函数”和“解析式子”等同起来的局限性，抓住了两个变量对应关系的确定存在这一要害，而不管它是否可用数学运算来表达。从而使函数概念能更准确地描述各种互相依赖的变量之间的关系。但是随着科学技术及数学学科本身的发展，这个以变量概念作为函数概念的定义逐渐暴露出不足之处。20世纪初，又给出了下面的函数定义：“设x和y是两个非空集合，如果对于每个X中的元素x，依照某一法则，总有确定的一个Y中的y和它对应，这个对应法则就叫做函数”。这就是说，函数是非空集合X到非空集合Y的一个映射。
这个定义使我们可以将函数概念推广到以任何对象为元素的两个集合之间，这就极大地扩展了函数概念建立的基础，适应了现代数学对函数概念的需要。
函数概念从提出到完成，用了二百多年的时间。从函数概念建立的过程我们可以看出，人们对函数概念的认识是随着科学和数学学科本身的不断发展、不断深入而不断深化、不断完善的。
数学函数形成要与历史相结合因为
函数概念是数学概念中最重要的概念之一，在数学发展300年来函数概念，无数的数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。所以拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。
函数概念的纵向发展
早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
1十八世纪函数概念——代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
以上就是函数形成与发展史，也是函数形成的重要原因。