过点p(1，-3)，作圆c:(x-4)的平方+(y-2)的平方=9的两条切线，切点分别为ab。

Question

过点p(1，-3)，作圆c:(x-4)的平方+(y-2)的平方=9的两条切线，切点分别为ab。(1)求切线方程。(2)求直线ab的方程。(3)线段ab的长度。

Answer 1

圆方程(x-4)²+(y-2)²=9，圆心C(4,2)，半径r=3，
（1）设经过点P(1,-3)的直线为a(x-1)+b(y+3)=0，即ax+by+(3b-a)=0，
圆心到直线距离等于半径，

|4a+2b+(3b-a)|/√(a²+b²)=3，
得到b=0，或a=-(8/15)b，

所以切线方程为x=1，或-8x+15y+53=0，
（2）x=1带入圆方程，得到y=2，切点A(1,2)；
过P(1,-3)和C(4,2)直线方程，(2+3)(x-4)=(4-1)(y-2)，即5x-3y-14=0，
AB垂直于PC，所以为3(x-1)+5(y-2)=0，即3x+5y-13=0，
（3）|PC|=√[(2+3)²+(4-1)²]=√34，
|AC|=|BC|=r=3，
|AP|=|BP|=√[(2+3)²+(1-1)²]=5，
|AB|=2×|AC|×|AP|÷|PC|=30/√34