请证明一下：绝对值三角不等式。l lal - lbl l《l a ± b l《lal + lbl .

Question

如题所述

Answer 1

|a±b| ≤ |a| + |b| 是显然的

这样就有 |a| ≤ |a-b| + |b| (注意到 a = (a-b) + b，即可利用上式)

故 |a| - |b| ≤ |a-b|

交换 a, b 的位置

|b| - |a| ≤ |b-a| = |a-b|

这样 ±(|a| - |b|) ≤ |a-b| .

故 | |a|-|b| | ≤ |a-b|

用 -b 代替 b 有

| |a| - |-b| | ≤ |a-(-b)| = |a+b|

即 | |a|-|b| | ≤ |a+b|

这样 | |a|-|b| | ≤ |a±b|

不等式的证明方法

（1）比较法：作差比较。

作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

（2）反证法：正难则反。

（3）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

Answer 2

|a±b| ≤ |a| + |b| 是显然的

这样就有 |a| ≤ |a-b| + |b| (注意到 a = (a-b) + b，即可利用上式)

故 |a| - |b| ≤ |a-b|

交换 a, b 的位置

|b| - |a| ≤ |b-a| = |a-b|

这样 ±(|a| - |b|) ≤ |a-b| .

故 | |a|-|b| | ≤ |a-b|

用 -b 代替 b 有
| |a| - |-b| | ≤ |a-(-b)| = |a+b|

即 | |a|-|b| | ≤ |a+b|

这样 | |a|-|b| | ≤ |a±b|追问

谢谢您！您能说明一下? 我这部分不太理解。：“这样 ±(|a| - |b|) ≤ |a-b| . 故 | |a|-|b| | ≤ |a-b| ”

追答

因为一个数的绝对值要么是它自己，要么是它的相反数。所以如果你证明了一个数自己和它的相反数都小于等于另一个数，就证明了它的绝对值小于等于另一个数。

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Answer 3

平方来证 先证l lal - lbl l《l a ± b l再证l a ± b l《lal + lbl 不懂再问